Pku_1088_滑雪_动态规划

Pku_1088_滑雪_动态规划
题目描述：
Description
Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

Output
输出最长区域的长度。
思路：
a1 a2 a3 a4…an
b1 b2 b3 b4…bn
c1 c2 c3 c4…cn
d1 d2 d3 d4…dn
这个问题是满足动态规划的要素：1，最优子结构的2，重复子问题
证明：以某个点为起点的最长路径的子路径也是最长的， 如果b4-b3-b2-c2-d2-d3为以b4为起点的最长路径，那么b3-b2-c2-d2-d3为以b3为起点的最长路径。
反证法：
假设存在另外一条以b3为起点的更长路径（b3-a3-a2-a1-b1-c1-d1）,那么以b4为起点的最长路径为b4-b3-a3-a2-a1-b1-c1-d1，这与我们的假设（b4-b3-b2-c2-d2-d3为以b4为起点的最长路径）相矛盾。

而且如果我们使用递归的话，将导致大量的重复计算，所以需要使用表格结构保存结果。
解法：
我们用S[i][j]标志以a[i][j]为起点的最长路径值，所以S[i][j]为{S[i+k][j+l], (k,l)={(-1,0),(1,0),(0,-1),(0,1)}值中的有效值加一，也就是S[i][j]等于上，下，左，右四个方向的路径长度的最大值加一,当然S[i+k][j+l]必须有效(就是value[i][j]>value[i+k][j+l]且i+k,j+l必须在数组内，所以我们可以先求出高度值为最小的点的最长路径值(此路径值为1)，再求出高度值次小的点的最长路径值（此值要么是1，要么为高度值最小的点的路径值加1）,然后根据高度值从小到大依次求出所有点的最长路径值。
核心代码：
for( int i = 0; i < CurrentSize; i ++ )
{
if( (m-1)>=0 && iMatrix[m]
> iMatrix[m-1]
&& iLength < (Length[m-1]
+1) )
iLength = Length[m-1]
+1;
if( (m+1)<iRowNum && iMatrix[m]
> iMatrix[m+1]
&& iLength < (Length[m+1]
+1) )
{
iLength = Length[m+1]
+1;
}

if((n-1)>=0 && iMatrix[m]
> iMatrix[m][n-1] && iLength < (Length[m][n-1]+1))
{
iLength = Length[m][n-1]+1;
}
if( (n+1)<iColomnNum && iMatrix[m]
> iMatrix[m][n+1] && iLength < (Length[m][n+1]+1) )
{
iLength = Length[m][n+1] +1;
}
Length[m]
= iLength;
if( MaxLength < iLength )
MaxLength = iLength;
}