中国剩余定理

问题简单来说就是 a = ai (mod ni) 求未知数a,

以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:

设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有: a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:

对于 a=ai (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:

定义 mi = n1*n2*...nk / ni; ci = mi(mf mod ni); 其中 mi*mf mod ni = 1;

则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n) (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:

mi*mf mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

直接看代码吧~~~

#include <iostream>

using namespace std;

__int64 m[1000];//除数

__int64 r[1000];//余数

__int64 X,Y;

__int64 Extende_GCD(__int64 a, __int64 b)

{

if (b==0)

{

X=1;

Y=0;

return a;

}

__int64 d=Extende_GCD(b,a%b);

__int64 t=X;

X=Y;

Y=t-a/b*Y;

return d;

}

__int64 CHN_Rnd(long len)

{

__int64 M=1;

long i;

for (i=0;i<len;++i)

{

M*=m[i];

}

__int64 res=0;

for (i=0;i<len;++i)

{

__int64 Mi=M/m[i];

Extende_GCD(Mi,m[i]);

res= (res+Mi*X*r[i])%M;

}

if (res<0)

{

res+=M;

}

return res;

}

int main()

{

long n;

while (scanf("%ld",&n)!=EOF)

{

long i;

for (i=0;i<n;++i)

{

scanf("%I64d %I64d",&m[i],&r[i]);

}

printf("%I64d\n",CHN_Rnd(n));

}

return 0;

}