[算法优化]优化阶乘算法的探索

优化阶乘算法的探索
中国地质大学（武汉） 陈海丰

阶乘(factorial)是基斯顿·卡曼(Christian Kramp, 1760 – 1826)于1808年发明的运算符号。阶乘，也是数学里的一种术语，是指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数。例如所要求的数是4，则阶乘式是1×2×3×4，得到的积是24，24就是4的阶乘。如果所要求的数是n，则阶乘式是1×2×3×……×n，设得到的积是x，x就是n的阶乘。在表示阶乘时，就使用“！”来表示，如n阶乘，就表示为n!。
根据阶乘的定义，我们不难得到求解阶乘的递推式。
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当n值很小时，在计算机中可以直接用整型数据的运算就可以解决了，可是当n值很大，比如n＝10000时计算结果就不能用现有的数据类型来存放了，因为它的位数已远远超过了现有的数据类型（如10000！有35660位）。为了解决所有数据类型都无法存放这样一个庞大的数据，目前大家采用的是将一个大数一位一位的存放到一个字符型数组或整型数组中，然后要运算时对其每一位进行单独运算，这样就解决了庞大数据的存放问题。但具体怎样对两个都比较大的数的作乘法运算呢？这就要利用大整数的高精度运算。如A,B都是位数比较多的大整数，现在要作A*B运算。小学时我们作45*12是先把12中的2与45的个位5相乘，再把2与45的十位4相乘，然后同样再把12中的1与45中的每一位从低到高依次相乘。在这里我们也可以模拟45*12，把A中每一位从低到高与B中的个位相乘，与后再与B中的十位相乘，依次类推，最后把所有的结果对应相加就可以得到所要求的结果了。

具体代码（一）：
#include <stdio.h>
#include <string.h>

char a[40000], b[10];
int c[40000];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
int la, lb, lc, i, j, k, k1;
if(n == 0 || n == 1){
printf("1/n");
continue;
} //几种特殊情况
if(n == 2){
printf("2/n");
continue;
}
a[0] = 50; //初始化使是最先相乘的数从开始
for(k1 = 3;k1 <= n;k1++){
k = k1;
for(j = 0;k;j++){
b[j] = k % 10 + 48;
k /= 10;
}
la = strlen(a);
lb = strlen(b);
memset(c, 0, sizeof(c));
for(i = 0;i < la;i++){
for(j = 0;j < lb;j++){
c[i + j] += (a[i] - 48) * (b[j] - 48);
//循环相乘，结果存放到另一数组中
c[i + j + 1] += c[i + j] / 10; //进位
c[i + j] %= 10;
lc = i + j + 1; //当前位
}
}
if(c[lc] == 0) lc--;
for(i = lc;i >= 0;i--)
for(i = lc;i >= 0;i--) a[i] = c[i] + 48;
//将结果复制到数组a中，再和b数组相乘
}
for(i = lc;i >= 0;i--){ //输出结果时从数组的最后一个开始输出
printf("%c", a[i]);
}
printf("/n");
memset(a, 0, sizeof(a)); //将数组全部初始化
memset(b, 0, sizeof(b));
}
return 0;
}
上面程序可以计算大数的阶乘，但是效率非常的低，如10000！的阶乘需要2000Ms左右，所以这种算法并不能解决实际问题。考虑到上面的程序是一位一位的把一个大数存放下来，然后相乘时也是一位一位的进行的。然后我想到定义一个整型的数组，每一位不是存放一位而是存放五位，这样相加，相乘的次数就是原来的 ，10000！运算时间是200Ms，是原来的 。
具体代码（二）：

#include<stdio.h>

int main()
{
int n;
printf("请输入一个整数N(0~20000)：/n");
while(scanf("%d", &n) != EOF){
int s[16000] = {0}, j, i, k = 0, t = 0, p = 0;
long sum = 0;
s[0] = 1;
for(j = 1;j <= n;j++){
for(i = 0;i <= t;i++){
sum = s[i] * j + p;
p = 0;
if(sum > 99999){
s[i] = sum % 100000; //每一位存放位
p = sum / 100000;
if(t == i){
t++;
s[t] = 0;
}
}
else s[i]=sum;
}
}
printf("%d!=", n);
printf("%d", s[t]);
for(i = t - 1;i >= 0;i--){
printf("%05d",s[i]);
}
printf("/n/n");
printf("请再输入一个整数N(0~20000)：/n");
}
return 0;
}

当然在程序中可以把存放大数的数组定义成长整型（long）则每一个数组元素可以存放更多位，10000！的运行时间可以缩短到50Ms。在实践中算法的可行性是非常重要的，算法要不断的优化才能有机实际作用，所以要学会优化算法，提高自己的编程能力。

参考文献
刘汝佳/黄亮 《算法艺术与信息学竞赛》 2004年1月 清华大学出版社
白中英《计算机组成原理》(第三版) 2004年2月 科学出版社