高斯—若当消元法

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[/align][align=left]
[/align][align=left]高斯消元法始终是消去对角线下方的元素，如果在每次消元过程中，首先将主元素化为1， 并消去对角线上方与下方的元素，这种方法称为高斯—若当(Gauss-Jordan)消元法.它不需要回代过程即可求得线性方程组的解.[/align]
[align=left]例1 用高斯—若当消元法求解线性方程组[/align]



[align=left]解 方程组的增广矩阵经高斯—若当消元法，得[/align]





[align=left]故原方程的解为[/align]



设用高斯—若当消元法已完成

步，于是线性方程组

化为等价方程组

,其中



[align=left]满足[/align]


，













次消元后，得原方程组的解为



[align=left]与高斯消元法相同，高斯—若当消元法也可进行全主元素消元法及列主元素消元法.?[/align]
初看起来，似乎高斯—若当消元法比高斯消元法好，然而只要我们稍作分析就会发现它的运算量比高斯消元法要大.
使用公式(1)—(5)，对每一个

需要

次除法,

次乘法，及

次减法，故乘除法总运算量是



加减法总运算量是



在第二节中我们曾指出，高斯消元法的运算量，乘除法次数为

,加减法的次数为

，从而，高斯—若当消元法比高斯消元法的运算量乘除法多

次，加减法多

次。当

值较大时，高斯消元法比高斯—若当消元法节省

次乘除法和加减法，这个运算量是十分可观的.
二 逆矩阵
高斯—若当消元法对求 一个矩阵的逆矩阵，或对求解仅常数项不同的很多方程组及矩阵方程是非常有用的.
?求矩阵

的逆矩阵

，即求

阶矩阵

，使

，其中

为

阶单位矩阵.?将矩阵分块





于是，求解

等价于求解

个方程组



由线性代数理论，我们有下面结论.
定理 设

为非奇异矩阵，方程组

的增广矩阵为

，如果对

应用高斯-若当方法化为

，则


例2
[/b]用高斯—若当消元法求



的逆矩阵

.
[align=left]解 [/align]









[align=left]所以[/align]



为
了节省存储单元，可不必将单位矩阵存放起来.作为第一步结果的式(9)中第1列已无用处，而第4列又相当于逆矩阵所求第1列的中间结果，把它移到第1列不
影响简化过程的实质.而且第5、6两列的常数项可取消，它们对简化也无实质影响，所以，最终按原位记法(9)式的结果可存放为



同理,式(10)中的

阶矩阵将第4列移到第1列，第5列移到第2列，取消第6列，则按原位记法为
[align=left] [/align]



式(11)的原位结果为



即为我们所要求的逆矩阵

,所以在计算中求逆矩阵的过程可简记为










=


一般地，逆矩阵的计算公式为











式(12)—(15)就是求逆矩阵的基本计算公式，对应于每一个

值就是完成了一个消元过程，在消元过程进行中

和

变量在规定的范围内进行循环.
我们知道,只要矩阵

的行列式

,则

总
是可逆的,然而,当主元素为零或绝对值太小时,按上述方法计算机可能要溢出，因此，在约化的过程中也应采用选主元素的方法,如果互换矩阵的两行,对方程组
的解来说,这样的对换对结果没有影响;而对求逆矩阵来说,这样的对换改变了所要求的逆矩阵.事实上,是逆矩阵也作了相应两列的互换,所以,计算逆矩阵也可
以
通过列主元素消元法,只要记住行的交换,然后在结果中施行相应的列交换即可.
高斯消元法进行多元一次方程组的求解

1	1	1	6
2	-1	3	5
4	2	-3	3

假设SHEET1中，A1：D3(上面的示例数据) 的数据代表一个 三元一次方程组：
x1+x2+x3=6
2x1-x2+3x3=5
4x1+2x2-3x3=3

求x1,x2,x3

Function Determinant(ByRef factor) As Single
Dim i As Long, j As Long, k As Long, row As Long, order As Long
Dim r As Long, c As Long, Pivot As Single, Pivot2 As Single, temp() As Single
Determinant = 1
Dim m

m = factor
row = UBound(m, 1)
If Not UBound(m, 2) = row + 1 Then MsgBox "无解或不定解！": Exit Function
ReDim temp(1 To row)

For i = 1 To row

Pivot = 0
For j = i To row
For k = i To row
If Abs(m(k, j)) > Pivot Then
Pivot = Abs(m(k, j))
r = k: c = j
End If
Next k
Next j

If Pivot = 0 Then Determinant = 0: Exit Function

If r <> i Then
order = order + 1
For j = 1 To row
temp(j) = m(i, j)
m(i, j) = m(r, j)
m(r, j) = temp(j)
Next j
End If

If c <> i Then
order = order + 1
For j = 1 To row
temp(j) = m(j, i)
m(j, i) = m(j, c)
m(j, c) = temp(j)
Next j
End If

Pivot = m(i, i)
Determinant = Determinant * Pivot

For j = i + 1 To row
Pivot2 = m(j, i)
If Pivot2 <> 0 Then
For k = 1 To row
m(j, k) = m(j, k) - m(i, k) * Pivot2 / Pivot
Next
End If
Next

Next

Determinant = Determinant * (-1) ^ order
End Function

Sub getresult(ByVal r As Range, Optional ByRef answer As String)
Dim row As Integer, i As Integer, D0 As Single
Dim m
Dim factor
Dim result() As String
factor = r
row = UBound(factor, 1)
ReDim result(1 To row)
D0 = Determinant(factor)
If D0 = 0 Then MsgBox "无解！": Exit Sub
For i = 1 To row
m = factor
For j = 1 To row
m(j, i) = factor(j, row + 1)
Next
result(i) = "X" & i & "= " & Format(Determinant(m) / D0, "0.00") ' Di/D0
Next
answer = Join(result, vbCrLf)
End Sub

Sub solver()
Dim answer As String
getresult [a1:d3], answer
MsgBox answer, 0, "答案"
End Sub

附件：http://down.51cto.com/data/2349864