经典算法（2）——0/1背包问题（动态规划法）

本博客（http://blog.csdn.net/livelylittlefish）贴出作者（三二一、小鱼）相关研究、学习内容所做的笔记，欢迎广大朋友指正！

0/1背包问题

1. 问题描述

给定一个载重量为m，n个物品，其重量为wi，价值为vi，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大

2. 问题分析

在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中
(n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值
若w[i]>j，第i个物品不装入背包
否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）

计算最大价值的动态规划算法如下：



//计算


for(i=1;i<row;i++)




...{


for(j=1;j<col;j++)




...{


//w[i]>j,第i个物品不装入背包


value[i][j]=value[i-1][j];


//w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值


int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];


if(w[i]<=j && temp>value[i][j])


value[i][j]=temp;


}


}



即该段程序完成以下n个阶段：
1：只装入1个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值
2：装入2个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值
。。。
n：以此类推，装入n个物品，确定在各种不同载重量的背包下，能够得到的最大价值

3. 问题求解

确定装入背包的具体物品，从value
[m]向前逆推：
若value
[m]>value[n-1][m]，则第n个物品被装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m-w
的背包中
否则，第n个物品没有装入背包，且前n-1个物品被装入载重量为m的背包中

以此类推，直到确定第一个物品是否被装入背包为止。逆推代码如下：



//逆推求装入的物品


j=m;


for(i=row-1;i>0;i--)




...{


if(value[i][j]>value[i-1][j])




...{


c[i]=1;


j-=w[i];


}


}

4. 代码如下

输入数据及输出数据均在文件中。
输入数据格式：
n m
w1 w2 ... wn
v1 v2 ... vn
输出数据格式：
maxValue
i count //i表示物品编号，count表示该物品被选中次数
...




/**//************************************************************************


* 0/1背包问题求解 (visual studio 2005)


* 给定一个载重量为m,及n个物品,其重量为wi,价值为vi,1<=i<=n


* 要求:把物品装入背包,并使包内物品价值最大


************************************************************************/




#include <stdio.h>


#include <stdlib.h>


#include <string.h>




#define FILENAMELENGTH 100




class CBeibao




...{


public:


int m_nNumber; //物品数量


int m_nMaxWeight; //最大载重量




int *m_pWeight; //每个物品的重量


int *m_pValue; //每个物品的价值




int *m_pCount; //每个物品被选中的次数


int m_nMaxValue; //最大价值




public:


CBeibao(const char *filename);


~CBeibao();





int GetMaxValue();


int GetMaxValue(int n,int m,int *w,int *v,int *c);


void Display(int nMaxValue);


void Display(int nMaxValue,const char *filename);


};




//读入数据


CBeibao::CBeibao(const char *filename)




...{


FILE *fp=fopen(filename,"r");


if(fp==NULL)




...{


printf("can not open file!");


return; //exit(0);


}




//读入物品数量和最大载重量


fscanf(fp,"%d%d",&m_nNumber,&m_nMaxWeight);




m_pWeight=new int[m_nNumber+1];


m_pValue=new int[m_nNumber+1];




m_pWeight[0]=0;


//读入每个物品的重量


for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)


fscanf(fp,"%d",m_pWeight+i);




m_pValue[0]=0;


//读入每个物品的价值


for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)


fscanf(fp,"%d",m_pValue+i);




//初始化每个物品被选中次数为0


m_pCount=new int[m_nNumber+1];


for(int i=0;i<=m_nNumber;i++)


m_pCount[i]=0;




fclose(fp);


}




CBeibao::~CBeibao()




...{


delete[] m_pWeight;


m_pWeight=NULL;


delete[] m_pValue;


m_pValue=NULL;


delete[] m_pCount;


m_pCount=NULL;


}






/**//************************************************************************


* 动态规划求出满足最大载重量的最大价值


* 参数说明：n:物品个数


* m:背包载重量


* w:重量数组


* v:价值数组


* c:是否被选中数组


* 返回值：最大价值


************************************************************************/


int CBeibao::GetMaxValue(int n,int m,int *w,int *v,int *c)




...{


int row=n+1;


int col=m+1;




int i,j; //循环变量:前i个物品能够装入载重量为j的背包中




//value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值


int **value=new int*[row];


for(i=0;i<row;i++)


value[i]=new int[col];




//初始化第0行


for(j=0;j<col;j++)


value[0][j]=0;




//初始化第0列


for(i=0;i<row;i++)


value[i][0]=0;




//计算


for(i=1;i<row;i++)




...{


for(j=1;j<col;j++)




...{


//w[i]>j,第i个物品不装入背包


value[i][j]=value[i-1][j];


//w[i]<=j,且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j],则记录当前最大价值


int temp=value[i-1][j-w[i]]+v[i];


if(w[i]<=j && temp>value[i][j])


value[i][j]=temp;


}


}




//逆推求装入的物品


j=m;


for(i=row-1;i>0;i--)




...{


if(value[i][j]>value[i-1][j])




...{


c[i]=1;


j-=w[i];


}


}




//记录最大价值


int nMaxVlaue=value[row-1][col-1];




//释放该二维数组


for(i=0;i<row;i++)




...{


delete [col]value[i];


value[i]=NULL;


}


delete[] value;


value=NULL;




return nMaxVlaue;


}




int CBeibao::GetMaxValue()




...{


int nValue=GetMaxValue(m_nNumber,m_nMaxWeight,m_pWeight,m_pValue,m_pCount);


m_nMaxValue=nValue;


return nValue;


}




//显示结果


void CBeibao::Display(int nMaxValue)




...{


printf(" %d ",nMaxValue);


for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)




...{


if(m_pCount[i])


printf(" %d %d ",i,m_pCount[i]);


}


printf(" ");


}




void CBeibao::Display(int nMaxValue,const char *filename)




...{


FILE *fp=fopen(filename,"w");


if(fp==NULL)




...{


printf("can not write file!");


return; //exit(0);


}




fprintf(fp,"%d ",nMaxValue);


for(int i=1;i<=m_nNumber;i++)




...{


if(m_pCount[i])


fprintf(fp,"%d %d ",i,m_pCount[i]);


}


fclose(fp);


}




//显示菜单


void show_menu()




...{


printf("--------------------------------------------- ");


printf("input command to test the program ");


printf(" i or I : input filename to test ");


printf(" q or Q : quit ");


printf("--------------------------------------------- ");


printf("$ input command >");


}




void main()




...{


char sinput[10];


char sfilename[FILENAMELENGTH];




show_menu();




scanf("%s",sinput);


while(stricmp(sinput,"q")!=0)




...{


if(stricmp(sinput,"i")==0)




...{


printf(" please input a filename:");


scanf("%s",sfilename);




//获取满足最大载重量的最大价值


CBeibao beibao(sfilename);


int nMaxValue=beibao.GetMaxValue();


if(nMaxValue)




...{


beibao.Display(nMaxValue);


int nlen=strlen(sfilename);


strcpy(sfilename+nlen-4,"_result.txt");


beibao.Display(nMaxValue,sfilename);


}


else


printf(" error! please check the input data! ");


}




//输入命令


printf("$ input command >");


scanf("%s",sinput);


}


}

5. 运行结果如下

文件中的内容如下：

1. input.txt
4 10
2 3 4 7
1 3 5 9

input_result.txt
12
2 1
4 1

2. input1.txt
5 10
2 2 6 5 4
6 3 5 4 6

input1_result.txt
15
1 1
2 1
5 1

3. input2.txt
5 15
2 6 4 7 9
1 6 5 9 4

input2_result.txt
16
1 1
2 1
4 1

4. input3.txt
10 105
12 16 24 7 29 32 5 43 31 1
11 16 15 9 24 25 3 32 41 7

input3_result.txt
112
1 1
2 1
4 1
6 1
7 1
9 1
10 1