动态规划--邮局选址问题

动态规划（Dynamic Programming）是一种算法设计技术，它有着相当有趣的历史。作为一种使多阶段决策过程最优的通用方法，它是在20世纪50年代由一位卓越的美国数学家Richard Bellman所发明的。因此，这个技术名字中的“programming”是计划和规划的意思，不是代表计算法中的编程。它作为一种重要的工具在应用数学中的价值被大家认同以后，起码在计算机科学的圈子里，人们不仅用它来解决特定类型的最优问题，而且最终把它作为一种通用的算法设计技术来使用。在这里，我们正是从这个角度来考虑这种技术的。
　　如果问题是由交叠的子问题所构成的，我们就可以用动态规划技术来解决它。一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系中包含了相同类型的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠的子问题一次又一次地求解，还不如对每个较小的子问题只求解一次并把记录记录在表中，这样就可以从表中得出原始问题的解。
　　——《算法设计与分析基础》

Description（问题描述）


　　有一条公路经过Ｖ个村庄，每一个村庄都处在整数的坐标点上（这里假设公路拉直为Ｘ轴）．规划在这条公路上建立Ｐ个邮局，当然为了方便，这些邮局应建在某Ｐ个村庄上，但是要求让不同村庄的人到邮局要走的总路程最小．
Input
先从键盘读入两个整数Ｖ和Ｐ，然后再读入Ｖ个整数，分别表示Ｖ个村庄的坐标（坐标＞＝０）
Output
输出Ｐ个以空格分隔的整数，按坐标从小到的顺序给出Ｐ个邮局的坐标．
Sample Input
10 3

1 4 7 19 70 89 105 204 18 40
Sample Output
7 89 204

Analysis（分析）

一、问题分析
l 在解决本问题之前，我们有必要先明确以下几点要点：
1、对于复杂的问题，我们有必要先从考虑简单情况出发，并由简单情况找出规律，发现思路．
2、当有V个村庄点，且只有一个邮局点时，邮局点的最佳选址位置为这V个村庄点的中位点．
3、当有V个村庄点，并且不只一个邮局点时，我们发现：此问题可以分解为多个子问题进行计算，并且邮局选址的最优解包含子问题的最优解，即这个邮局选址问题具有最佳子结构性质！
4、在我们容易地列出此问题的递归表达式（即后文即将提及的表达式1.1）之后，我们发现：在递归计算的过程中，许多子问题被重复计算了多次！
× 要点3、4的这两点发现，是选择动态规划求解的显著特征，也是我们选择用动态规划来解决此问题的一个重要原因．
二、算法分析
（一）、找出递归表达式
根据从特殊到一般的思路，我们先考虑当邮局数为1时的情况，再考虑邮局数大于1的情况．
1、当邮局数P=1时，易知邮局的最佳选址位置为V个村庄的中位点．
2、当邮局数P>1时，我们可以想象每个邮局对应一个辖区，那么问题就可以被转化为如何将V个村庄划分为连续的P个辖区．为此，我们做以下定义：
（1）、Center(l,r)，表示当村庄xl到xr为一个辖区时，邮局所在位置．
（2）、Dis(l,r)，表示当村庄xl到xr为一个辖区时，该辖区内村庄到邮局的最小距离．
（3）、TotolDis(t,k)，表示将村庄xt之后的所有村庄（包括村庄xl）划分为k个辖区时，所有辖区的Dis(l,r) 总和的最小值，题目就转化为求TotolDis(t,k)，有



下面，我们还是通过从特殊到一般的方法，考虑如何求TotolDis(t,k)．
举特例：“在V=7,P=3时，目标是求TotolDis(t,k)．”



显而易见，TotolDis(t,1)=Dis(t,6)，t=2,3,4,5,6；也就是说TotolDis(1,2)=min{F,G,H,I,J}，是可以在原有子问题上计算出来的．
　　对于情况B、C、D、E，同理．
　　根据上述特殊，推广并且改造表达式（1.1），可得：



　　显然，这是一个典型的递归过程．

（二）、构造动态规划的程序结构

在以上定义Center(l,r)、Dis(l.r)、TotalDis(t,k)的基础上，构造合理的数据结构和控制结构，自底向上的求解这个问题．

还是先考虑上述“V=7，P=3，村庄坐标为0～6”的特例，Center(l,r)表和Dis(l,r)表如下所示．

l"r	0	1	2	3	4	5	6	l"r	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	1	1	2	2	3	0	0	1	2	4	6	9	12
1		1	1	2	2	3	3	1		0	1	2	4	6	9
2			2	2	3	3	4	2			0	1	2	4	6
3				3	3	4	4	3				0	1	2	4
4					4	4	5	4					0	1	2
5						5	5	5						0	1
6							6	6							0
center[l][r] 图1-1　特例的Center(l,r)表	dis[l][r] 图1-2　特例的Dis(l,r)表

据此，我们可以很容易的编写出计算center[l][r]和dis[l][r]的代码模块．

1 void calculateCenter() { 2 3 //--- 内存分配 4 5 center = new unsigned *[village]; //动态分配二维数组的第一维 6 7 for (unsigned i=0; i<village; i++) //动态分配二维数组的第二维 8 9 center[i] = new unsigned[village]; 10 11 12 13 //--- 初始化Center(l,r) 14 15 for (unsigned l = 0; l < village; l++) 16 17 for (unsigned r = l; r < village; r++) 18 19 center[l][r] = xCoordinate[(r-l)/2 + l]; 20 21 } 22

calculateCenter()函数

1 void calculateDis() { 2 3 //--- 内存分配 4 5 dis = new unsigned *[village]; //动态分配二维数组的第一维 6 7 for (unsigned i = 0; i < village; i++) //动态分配二维数组的第二维 8 9 dis[i] = new unsigned[village]; 10 11 12 13 //--- 初始化Dis(l,r) 14 15 for (unsigned l = 0; l < village; l++) 16 17 for (unsigned r = l; r < village; r++) { 18 19 dis[l][r] = 0; 20 21 for (unsigned k = l; k <= r; k++) 22 23 if (center[l][r] > xCoordinate[k]) 24 25 dis[l][r] += center[l][r] - xCoordinate[k]; 26 27 else 28 29 dis[l][r] += xCoordinate[k]- center[l][r]; 30 31 } 32 33 } 34

calculateDis()函数

　　 在计算TotalDis(0,P)时，由于题目要求输出邮局的位置，所以在计算TotalDis(0,P)的过程中，只计算最小值还不够，还必须记录下取得最小值时的分辖区情况．于是，我们这么定义TotalDis二维数组．

1 struct info { 2 3 unsigned dis; //最小值 4 5 unsigned r; //标号r之前（包括r）的村庄为一个辖区 6 7 }; 8 9 10 11 info **totalDis=NULL; 12

totalDis表的元素结构

　　计算过程如下所示．

1 void calculateTotalDis() { 2 3 //--- 内存分配 4 5 totalDis = new info *[village]; //动态分配二维数组的第一维 6 7 for (unsigned i = 0; i < village; i++) //动态分配二维数组的第二维 8 9 totalDis[i] = new info[postoffice+1]; 10 11 12 13 //--- 计算TotalDis(v,p+1) 14 15 //---- 当k=1时，根据公式(1.2)，直接计算 16 17 for (unsigned t = 0; t < village; t++) 18 19 totalDis[t][1].dis = dis[t][village-1]; 20 21 //---- 当k=2,3, ,p时的情况 22 23 for (unsigned k = 2; k <= postoffice; k++) 24 25 for (unsigned t = 0; t < village; t++) { 26 27 totalDis[t][k].dis = (unsigned)-1; 28 29 totalDis[t][k].r = 0; 30 31 for (unsigned r = t; r <= village-k; r++) { 32 33 unsigned temp = dis[t][r] + totalDis[r+1][k-1].dis; 34 35 //---- 计算最小值 36 37 if (temp < totalDis[t][k].dis) { 38 39 totalDis[t][k].dis = temp; 40 41 totalDis[t][k].r = r; 42 43 } 44 45 } 46 47 } 48 49 } 50

calculateTotalDis()函数

　　得到的TotalDis(t,k)表如下所示．

t"k(dis/r)	1	2	3
0	12/	2/6	4/0
1	9/	4/3	3/1
2	6/	3/3	2/2
3	4/	2/3	1/3
4	2/	1/4	0/4
5	1/	0/5	-1/0
6	0/	-1/0	-1/0
表示此区域在本算法中为无效区域 　表示此区域在本算法中为有效区域 totalDis[t][k]

图1-3　特例的TotalDis(t,k)表

　　对于本题，还有一个地方需要注意，那就是输出．由于题目要求输出各邮局的坐标，在这里需用到递归的方法，具体输出模块如下所示．

1 void output(unsigned t, unsigned k) { 2 3 if (1 == k) 4 5 cout << center[t][village-1]; 6 7 else { 8 9 cout << center[t][totalDis[t][k].r] << ' '; 10 11 output(totalDis[t][k].r+1, k-1); //递归 12 13 } 14 15 } 16

output函数

　　三、结语
另外，本问题也可以采用“备忘录”方式解决，有兴趣的朋友可以自己研究，这里不再赘述．

时间仓促，水平有限，不足之处，请各位批评指正！

Code（源码）

　　下载入口：
　　.[DynamicProgramming].[ByNORX].rar]http://www.cnblogs.com/Files/norx/[ReleaseEdition].[DynamicProgramming].[ByNORX].rar