动态规划——装配线调度

动态规划
动态规划算法的设计可分为如下4个步骤：
(1)描述最优解的结构；
(2)递归定义最优解的值；
(3)按自底向上的方式计算最优解的值；
(4)由计算出的结果构造一个最优解。
第1~3步构成问题的动态规划解得基础，第4步在只要求计算最优解的值时可以略去。如果的确做了第4步，则有时要在第3步的计算中记录一些附加信息，要构造一个最优解变得容易。
装配线问题
一个找出通过工厂装配线的最快方式的制造问题。共有两条装配线，每一条装配线上有n个装配站，编号为j = 0, 1, … , n - 1。装配线i(i = 0或1)，在装配站S[i][j]上所需的装配时间记为a[i][j]。一个汽车底盘进入工厂，然后进入装配线i的进入时间为e[i]，在通过一条线的第j个装配站后，这个底盘来到任一条线的第(j + 1)个装配站。如果留在相同的装配线上，则没有移动的开销；如果在装配站S[i][j]后，它移动到了另一条线上，则花费时间t[i][j]。在离开一条线的第n个装配站后，完成的汽车离开装配线i的离开时间为x[i] 。
f[i][j]：底盘从起点到装配站S[i][j]的最快可能时间。
最终目标是确定底盘通过工厂的所有路线的最快时间，记为fast ，有：
fast = min{f[0][n-1] + x[0], f[1][n-1] + x[1]}
f[0][0] = e[0] + a[0][0]
f[1][0] = e[1] + a[1][0]
f[0][j] = min{f[0][j-1] + a[0][j], f[1][j-1] + t[1][j-1] + a[0][j]} (j = 1, 2, … , n-1)
f[1][j] = min{f[1][j-1] + a[1][j], f[0][j-1] + t[0][j-1] + a[1][j]} (j = 1, 2, … , n-1)
按上式迭代，可计算出f[i][j]，以及fast的值。
f[i][j]的值就是子问题最优解的值，定义l[i][j](j = 1, 2, … , n-1)记录装配线的编号，表示通过装配站S[i][j]的最快路线所用的j-1装配站所在的装配线的编号。last记录n-1装配站被通过整个工厂的最快路线所使用。
WaterLineMain.c


#include <stdio.h>




void PrintStations(int l[][6], int last, int n);


void FastestWay(int a[][6], int t[][5], int *e, int *x, int n);




void PrintStations(int l[][6], int last, int n)




...{


int i, j;




i = last;


printf("line:%d station:%d ", i, n);


for(j = n-1; j > 0; j--)




...{


i = l[i][j];


printf("line:%d station:%d ", i, j);


}


}




void FastestWay(int a[][6], int t[][5], int *e, int *x, int n)




...{


int j;


int f[2][6], l[2][6];


int fast, last;




f[0][0] = e[0] + a[0][0];


f[1][0] = e[1] + a[1][0];


for(j = 1; j < n; j++)




...{


if(f[0][j-1] < f[1][j-1] + t[1][j-1])




...{


f[0][j] = f[0][j-1] +a[0][j];


l[0][j] = 0;


}


else




...{


f[0][j] = f[1][j-1] + t[1][j-1] + a[0][j];


l[0][j] = 1;


}




if(f[1][j-1] < f[0][j-1] + t[0][j-1])




...{


f[1][j] = f[1][j-1] +a[1][j];


l[1][j] = 1;


}


else




...{


f[1][j] = f[0][j-1] + t[0][j-1] + a[1][j];


l[1][j] = 0;


}


}


if(f[0][n-1] + x[0] <= f[1][n-1] + x[1])




...{


fast = f[0][n-1] + x[0];


last = 0;


}


else




...{


fast = f[1][n-1] + x[1];


last = 1;


}


PrintStations(l, last, n);


}






int main(int argc, char **argv)




...{




int a[2][6] = ...{...{7, 9, 3, 4, 8, 4}, ...{8, 5, 6, 4, 5, 7}};




int t[2][5] = ...{...{2, 3, 1, 3, 4},...{2, 1, 2, 2, 1}};




int e[2] = ...{2, 4};




int x[2] = ...{3, 2};


int n = 6;




FastestWay(a, t, e, x, n);




return 0;


}