面试题2：10个靶打中90环的情况有多少种？

中学数学题目：射击训练，每个靶得分为0环到10环（共11种可能），一个人打了10个靶，那么：
打中0环的可能只有一种，即每个靶都打种0环。打中100环情况一样，只不过把得分换为丢分。
打中1环有10种可能，即第1个靶打中1环，其余的靶打中0环；或者第2个靶打中1环，其余的靶打中0环；……或者第10个靶打中1环，其余的靶打中0环。打中99环情况一样，只不过把得分换为丢分。
打中2环有55种可能，分为两类，1) 这2环在同一个靶上，有10种可能；2) 这2环分两个靶打中，每个靶1环，有10*9/2 = 45 种可能。一共有55种可能。打中98环情况一样，只不过把得分换为丢分。
问打中90环的情况有多少种。
思路1：用生成函数。求多项式(x^10 + x^9 + ... + x + 1)^10中x^90那项的系数，为92378。Matlab代码：


a = ones(1, 11);

a2=conv(a,a);


a4=conv(a2,a2);


a8=conv(a4,a4);


a10=conv(a2,a8);


a10(91)  % arrays in Matlab are 1-based.ans = 92378
这个办法对所有的环数都成立。
思路2：多重组合。一共在10个靶上丢了10环，考虑把10个相同的小球放到一排10个杯子里边的情况有多少种。10个杯子之间有9个隔板，假设我们有一排19个小坑，选出其中10个小坑放球，另外那9个坑放隔板，那么第1个隔板之前的小球（可能为0个，也可能为10个）放入第1个杯子，第1个和第2个隔板之间的小球（可能为0个，也可能为10个）放入第2个杯子，依此类推，第9个隔板之后的小球放入第10个杯子。那么情况一共有C(10, 19) ＝92378种。
10个靶中n环的情况数为C(n, 10+n-1)，对0<=n<=10成立。
如果10个靶中了11环，按这个公式计算出的答案是167960，这是错误的，因为它把“一个靶中11环”的情况也算了进去，正确的答案是167960-10=167950。
思路3：递推（递归）。适合列举出全部情况。考虑10个靶中3环，对于第1个靶：如果中0环，那问题转为求剩下9个靶里中3环的情况；如果中1环；问题转为求剩下9个靶里中2环的情况；如果中2环；问题转为求剩下9个靶里中1环的情况；如果中3环；问题转为求剩下9个靶里中0环的情况。这样每一步问题规模都在缩小，缩小到只有1个靶时就可以直接给出答案了。
Python 代码：
 


# -*- coding: cp936 -*-




seq = []


MAX_SCORE = 10




def butt(n, score):


    global seq, MAX_SCORE


    assert(n >= 1 and score >= 0)


    if n == 1:


        if score <= MAX_SCORE:


            seq.append(score)


            print seq


            seq.pop()


            return 1


        else: # 一次得不了这么多分


            return 0


    else:


        cnt = 0


        for s in range(min(MAX_SCORE, score)+1):


            # 本靶中s环（s in [0, 1, 2, ...]），计算剩下 n-1 个靶中 score - s 环的情况


            remain_score = score - s;




            # 剩下 n-1 个靶全得满分也打不了 score-s 环，就算了


            if (n-1)*MAX_SCORE < remain_score: 


                continue


            


            seq.append(s)


            cnt += butt(n-1, remain_score)


            seq.pop()


        return cnt




if __name__ == '__main__':


    all = butt(10, 3)


    print "Total cases:", all


 
这实际上还可以看成一个动态规划问题，如果把中间结果记下来，可以避免很多重复计算。另外如果把MAX_SCORE设为1，那么这个程序可以用来生成所有组合。
 

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