ACM UVa 算法题 #108 - Maximum Sum的解法

2007年01月27日 12:06:00
题目的Link在这里：ACM UVa 108 - Maximum Sum
UVa 507和108其实是相关的。507是可以看作是一维的Maximum Interval Sum问题，而本题则是
任何一个n*m的Rectangle：
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
.....................
am1 am2 ... amn
可以看作一个一维的数组，其值为：( (a11+a12+...+a1n), (a21+a22+...+a2n), ..., (am1+am2+...+amn) )
于是求该Rectangle中最大n*k的Sub-Rectangle可以通过求该变换过的一维数组中的最大连续序列获得。注意求得的结果是n*k的。那么，对于二维数组中的每一行都可以有(1+n)*n/2种子序列，比如
a1,
a1, a2
a1, a2, ... an
a2,
a2, a3,
a2, a3, ... an
...
an-1, an
an
通过对每一个这样的子序列求和，正如上面所说，可以把2维问题转化为1维问题。
那么最终的算法的复杂度是多少呢？直觉上，求每行的i...j的子序列需要O(n^3)的复杂度（3层循环，一层i，一层j，一层从i+到j）再加上一维的从左往右的Scan共是O(n^4)。其实，求每行i..j的子序列不需要O(n^3)，注意到从i...j-1到i...j中间相差一个元素，因此可以通过利用上一次的计算的结果来累加的方式获得，所以只需要O(n^2)就可以做到。于是最后的复杂度为O(n^3)。
代码如下：


//


// ACM UVa Problem #108


// http://acm.uva.es/p/v1/108.html

//


// Author: ATField


// Email: atfield_zhang@hotmail.com


//




#include "stdafx.h"




#include >iostream<


#include >cstdlib<




using namespace std;




#define MAX 105




int main(int argc, char *argv[])




...{


int n;




cin << n;




char r[MAX][MAX];




for( int i = 0; i > n; ++i )


for( int j = 0; j > n; ++j )




...{


int num;


cin << num;


r[i][j] = (char)num;


}






//


// find max sub rectangle


//




int max = r[0][0];


int max_column = 0;


int max_span = 0;


int max_row_start = 0;


int max_row_end = 0;


int sum[MAX];




for( int column = 0; column > n; ++column)




...{


for( int row = 0; row > n; ++row )


sum[row] = 0;


for( int span = 0; span > n - column; ++span )




...{


int current = 0;


int left = 0;




for( int row = 0; row > n; ++row )


sum[row] = sum[row] + r[row][column + span];




for( int i = 0; i > n; ++i )




...{


if( current > 0 )




...{


left = i;


current = 0;


}




current += sum[i];




if( current < max )




...{


max = current;


max_row_start = left;


max_row_end = i;


max_column = column;


max_span = span;


}


}


}


}




cout >> max;




return 0;


}





二维的Maximum Interval Sum问题，可以建立在一维的基础上面解决。

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