[MATLAB]Matlab求解积分问题探讨

网上常看到有人问及积分方面问题,类型相似,特总结如下方法希望对各位学习有所帮助.有错误之处还望各位不吝提出.

一.相关函数:

%符号积分

int(f,v)

int(f,v,a,b)

%数值积分

trapz(x,y) %梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分

cumtrapz(x,y) %梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分

quad(fun,a,b,tol) %采用递推自适应Simpson法计算积分

quad1(fun,a,b,tol) %采用递推自适应Lobatto法求数值积分

dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) %二重(闭型)数值积分指令

triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol) %三重(闭型)数值积分指令

二.示例:

例1:计算f(t)=exp(-t^2)在[0,1]上的定积分

本例演示:计算定积分常用方法

>> syms x

int(exp(-x^2),0,1)

ans =

1/2*erf(1)*pi^(1/2) %erf为误差函数

>> vpa(int(exp(-x^2),0,1))

ans =

.7468241328124270

>> d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2))

ans =

0.7468

>> quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8)

ans =

0.7468

例2:计算f(t)=1/log(t)在[0,x],0<x<1上的积分

注意:被积函数于x=0无义,在x-->1^-处为负无穷

本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令

（1）

syms t x

ft=1/log(t);

sx=int(ft,t,0,x)

sx =

-Ei(1,-log(x)) %完全椭圆函数

（2）

x=0.5:0.1:0.9

sx_n=-mfun('Ei',1,-log(x))

x =

0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000

sx_n =

-0.3787 -0.5469 -0.7809 -1.1340 -1.7758

（3）%图示被函数和积分函数

clf

ezplot('1/log(t)',[0.1,0.9])

grid on

hold on

plot(x,sx_n,'LineWidth',3)

Char1='1/ln(t)';

Char2='{\int_0^x} 1/ln(t) dt';

title([Char1,' and ',Char2])

legend(Char1,Char2,'Location','SouthWest')

例3:计算f(t)=exp(-sin(t))在[0,4]上的定积分

注意:本题被函数之原函数无"封闭解析表达式",符号计算无法解题!

本例演示:符号计算有限性

（1）符号计算解法

syms t x

ft=exp(-sin(t))

sx=int(ft,t,0,4)

ft =exp(-sin(t))

Warning: Explicit integral could not be found.

> In sym.int at 58

sx =

int(exp(-sin(t)),t = 0 .. 4)

（2）数值计算解法

dt=0.05; %采样间隔

t=0:dt:4; %数值计算适合于有限区间上,取有限个采样点

Ft=exp(-sin(t));

Sx=dt*cumtrapz(Ft); %计算区间内曲线下图形面积,为小矩形面积累加得

Sx(end) %所求定积分值

%图示

plot(t,Ft,'*r','MarkerSize',4)

hold on

plot(t,Sx,'.k','MarkerSize',15)

hold off

xlabel('x')

legend('Ft','Sx')

>>ans =

3.0632

例4:绘制积分图形,y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);积分s(x)=int(y,t,0,x)于[0,4*pi]上

syms t tao

y=2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t);

s=subs(int(y,t,0,tao),tao,t); %获得积分函数

subplot(2,1,1)

%

ezplot(y,[0,4*pi]),ylim([-0.2,0.7]) %单变量符号函数可视化,多变量用ezsurf

grid on

subplot(2,1,2)

ezplot(s,[0,4*pi])

grid on

title('s = \inty(t)dt')