学习矩阵之 马尔可夫过程

先看一个例子：

某公司对生产的产品通过市场调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品的客户中有 60%表示仍将继续购买该产品，在尚未使用过该产品的被调查都中 25%的表示将购买产品，目前该产品在市场中的占有率为 60%，能否预测 x年后该项产品的市场占有率的情况呢？

该类问题可以扩展到其它的问题例如人口迁移模型，状态转移模型等。

从数学的角度来抽象这个问题：

一个有限个状态的系统，每一时刻处在一个确定的状态中，随时间时间的推移，系统将从一个状态迁移到另一个状态，我们利用过去通过调查得到的资料，再根据概率理论预测将来某个时刻会出现的状态。这样一种连续的过程叫做马尔可夫过程。

假设系统有　Ｎ　种可能的状态，记为１，２，....　，n,假设在革个观察期间，它对状态为 j,而在下一个观察期间，它的状态为 i　的概率为Pij,则 Pij为转移概率，它的取值自[0,1]之间，即0<=Pij<=1,且满足：

P1j+P2j + ... + Pnj = 1

定义一个矩阵 P=(pij),这是n 阶方阵，称为概率矩阵或转移矩阵，那么本例一开始提出的关于市场营销调查的例子中，定义一个概率矩阵

P = [p11,p12]

[p21 p22]

初始矩阵

V0 = [0.6]

[0.4]

则Ｋ年之后的状态为：

V(k) = PkV0

利用矩阵特征值，将Ｐ可对角化,解决P的链乘，问题得以解决。