3D数学与游戏:四元数与旋转
2007-10-01 23:45
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Computer Graphics: 四元数与旋转 在讨论「四元数」之前, 我们来想想对三维直角座标而言,在物体旋转会有何影响, 可以扩充三维直角座标系统的旋转为三角度系统(Three-angle system) ,在Game Programming Gems中有提供这么一段:
Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.
i2 = j2 = k2 = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k
假设有两个四元数:
q1 = w1 + x1 i + y1 j + z1 k
q2 = w2 + x2 i + y2 j + z2 k
四元数的加法定义如下:
q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2) i + (y1+y2) j + (z1+z2) k
四元数的乘法定义如下,利用简单的分配律就是了:
q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x1) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k
由于q = w + x i + y j + z k中可以分为纯量w与向量x i + y j + z k, 所以为了方便表示,将q表示为(S, V),其中S表示纯量w, V表示向量x i + y j + z k,所以四元数乘法又可以表示为:
q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1
其中V1.V2表示向量內积,V1XV2表示向量外积。
定义四元数q = w + x i + y j +z k 的norm为:
N(q) = |q| = x2 + y2 + z2 + w2
满足N(q) = 1的四元数集合,称之为单位四元数(Unit quaternions)。 定义四元数定义四元数q = w + x i + y j +zk的共轭(Conjugate)为: q* = 定义四元数q = w - x i - y j -z k = [S - V] 定义四元数的倒数为:
1/ q = q* / N(q)
说明了一些数学,您所关心的或许是,四元数与旋转究竟有何关系, 假设有一任意旋转轴的向量A(Xa, Ya, Za)与一旋转角度θ,如下图所示:
若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ],其中u为单位向量,而令q'= [S', V']为一四元数,则经过导证, 可以得出q * q' * q^(-1)会使得q'绕着u轴旋转2θ。 由四元数的矩阵乘法与四元数的旋转, 可以导证出上面的旋转公式可以使用以下的矩阵乘法来达成 :
讲了这么多,其实就是要引出上面这个矩阵乘法,也就是说如果您要让向量(x', y', z')(w'为0)对某个单位向量轴u(x, y, z)旋转角度2θ,则w = cosθ, 代入以上的矩阵乘法,即可得旋转后的(x", y", z"),如果为了方便, 转换矩阵的最下列与最右行会省略不写出来,而如下所示:
============================================================
你妈B,你脑子有病啊,你把1×3和1×4距阵写成3×1和4×1距阵了!!
大家不要受误导啊!!坐标距阵应当是这样的哦:
[ X,Y,Z ]和[ X,Y,Z,W ]
因为距阵乘法只能是:
[ M×N ] [ N×P ] = [ M×P ] --> 两个N一定要一样呀!!
并且2D距阵&3D距阵只有结合率没有交换率!!
不信,大家可以自己找资料看啊,antimatterworld从来不
骗人哦~~
Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a simple local roation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right.
简单的说,三角度系统无法表现任意轴的旋转,只要一开始旋转, 物体本身即失去对任意轴的自主性。 四元数(Quaternions)为数学家Hamilton于1843年所创造的, 您可能学过的是复数,例如:a + b i 这样的数,其中i * i = -1, Hamilton创造了三维的复数,其形式为 w + x i + y j + z k,其中i、j、 k的关系如下: |
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k
假设有两个四元数:
q1 = w1 + x1 i + y1 j + z1 k
q2 = w2 + x2 i + y2 j + z2 k
四元数的加法定义如下:
q1 + q2 = (w1+w2) + (x1+x2) i + (y1+y2) j + (z1+z2) k
四元数的乘法定义如下,利用简单的分配律就是了:
q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x1) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k
由于q = w + x i + y j + z k中可以分为纯量w与向量x i + y j + z k, 所以为了方便表示,将q表示为(S, V),其中S表示纯量w, V表示向量x i + y j + z k,所以四元数乘法又可以表示为:
q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1
其中V1.V2表示向量內积,V1XV2表示向量外积。
定义四元数q = w + x i + y j +z k 的norm为:
N(q) = |q| = x2 + y2 + z2 + w2
满足N(q) = 1的四元数集合,称之为单位四元数(Unit quaternions)。 定义四元数定义四元数q = w + x i + y j +zk的共轭(Conjugate)为: q* = 定义四元数q = w - x i - y j -z k = [S - V] 定义四元数的倒数为:
1/ q = q* / N(q)
说明了一些数学,您所关心的或许是,四元数与旋转究竟有何关系, 假设有一任意旋转轴的向量A(Xa, Ya, Za)与一旋转角度θ,如下图所示:
若令q = [S, V] = [cosθ, u*sinθ],其中u为单位向量,而令q'= [S', V']为一四元数,则经过导证, 可以得出q * q' * q^(-1)会使得q'绕着u轴旋转2θ。 由四元数的矩阵乘法与四元数的旋转, 可以导证出上面的旋转公式可以使用以下的矩阵乘法来达成 :
讲了这么多,其实就是要引出上面这个矩阵乘法,也就是说如果您要让向量(x', y', z')(w'为0)对某个单位向量轴u(x, y, z)旋转角度2θ,则w = cosθ, 代入以上的矩阵乘法,即可得旋转后的(x", y", z"),如果为了方便, 转换矩阵的最下列与最右行会省略不写出来,而如下所示:
============================================================
你妈B,你脑子有病啊,你把1×3和1×4距阵写成3×1和4×1距阵了!!
大家不要受误导啊!!坐标距阵应当是这样的哦:
[ X,Y,Z ]和[ X,Y,Z,W ]
因为距阵乘法只能是:
[ M×N ] [ N×P ] = [ M×P ] --> 两个N一定要一样呀!!
并且2D距阵&3D距阵只有结合率没有交换率!!
不信,大家可以自己找资料看啊,antimatterworld从来不
骗人哦~~
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