任意三维直角坐标系变换矩阵的推导

(v1, v2, v3)坐标系 ==> (u1, u2, u3)坐标系

u1 =a1v1 + a2v2 + a3v3
u2 =a4v1 + a5v2 + a6v3
u3 =a7v1 + a8v2 + a9v3

[ u ] = M [ v ] ------------------------------ 1

现已知一向量w,可分别表达为
w = c1v1 + c2v2 + c3v3 --------------------- 2
w = d1u1 + d2u2 + d3u3 -------------------- 3
由1, 2，3两式得

w = c [ v ] = d [ u ] = d M [v]
==> c = d M --------------------------- 4
公式推导完毕

假设任意坐标系三个坐标轴的分量是 (u, v, w),现要转换成标准的( i , j, k )坐标系
假设u, v, w, i, j, k都是单位向量
将,u, v, w三个向量分别带入 2, 3式可得到9个非常简单的方程组
求解后M的9个元素可得

| ux uy uz |
M = | vx vy vz |
| wx wy wz |

至此，(v1, v2, v3)坐标系 ==> (u1, u2, u3)坐标系的转换系数已求出，如果需要坐标平移系的话，需要采用4 x 4的矩阵