2007.08.25一元多项式的表示及相加

[align=center]一元多项式的表示及相加[/align]
对于符号多项式的各种操作，实际上都可以利用线性表来处理。比较典型的是关于一元多项式的处理。在数学上，一个一元多项式Pn（x）可按升幂的形式写成：Pn（x）=p0+p1x+p2x2+p3x3+…+pnxn。它实际上可以由n+1个系数唯一确定。因此，在计算机内，可以用一个线性表P来表示：P=（p0，p1，p2，…，pn）其中每一项的指数隐含在其系数的序号里了。
假设Qm（x）是一个一元多项式，则它也可以用一个线性表Q来表示，即Q=（q0，q1，q2，…，qn）若假设m<n，则两个多项式相加的结果Rn（x）=Pn（x）+Qm（x），也可以用线性表R来表示：R（p0+q0，p1+q1，p2+q2，，pm+qm，pm+1，…，pn）。
我们可以采用顺序表存储结构来实现顺序表的方法，使得多项式的相加的算法定义十分简单，即p[0]存系数p0，p[1]存系数p1，…，p
存系数pn，对应单元的内容相加即可。但是在通常的应用中，多项式的指数有时可能会很高并且变化很大。例如：R（x）=1+5x10000+7x20000
若采用顺序存储，则需要20001个空间，而存储的有用数据只有三个，这无疑是一种浪费。若只存储非零系数项，则必须存储相应的指数信息才行。
假设一元多项式Pn（x）=p1xe1+p2xe2+…+pmxem，其中piei的项的系数（且0≤e1≤e2≤…≤em=n），若只存在非零系数，则多项式中每一项有两项构成（指数项和系数项），用线性表来表示，即（（p1，e1），（p2，e2），…，（pm，em））。
采用这样的方法存储，在最坏情况下，即n+1个系数都不为零，则比只存储系数的方法多存储1倍的数据。但对于非零系数多的多项式则不宜采用这种表示。
对与线性表的两种存储结构，一元多项式也有存储表示方法。在实际应用中，可以是具体情况而定。下面将学习到用单链表实现一元多项式相加运算的方法。
（1）用单链表存储多项式的结点结构如下：

typedef struct Polynode { int coef; int exp; struct Polynode *next; }Polynoce,*Polylist;

（2）通过键盘输入一组多项式的系数和指针，以输入系数0为结束标志，并约定建立多项式链表时，总是按指数从大到小的顺序排列。
算法描述：从键盘接受输入的系数和指针；用尾插法建立一元多项式的链表。

Polylist polycreate() { Polynode *head,*rear,8s; int c,e; head=(Polynode *)malloc(sizeof(Polynode));/*建立多项式的头结点*/ rear=head;/*rear始终指向单链表的尾，便于尾插法建表*/ scanf("%d,%d",&c,&e);/*键入多项式的系数和指针项*/ while(c!=0)/*若c=0，则代表多项式的输入结束*/ { s=(Polynode *)malloc(sizeof(Polynode));/*申请新的结点*/ s->coef=c; s->exp=e; rear->next=s;/*在当前表尾做插入*/ rear=s; scanf("%d,%d",&c,&e); } rear-next=NULL;/*将表的最后一个结点的nest置NULL，以示结束*/ return (head); } [align=center]算法 用尾插法建立一元多项式的链表[/align]

图2.19所示为两个多项式的单链表，分别表示多项式A（x）=7+3x+9x8+5x17和多项式B（x）=8x+22x7-9x8。



多项式相加的运算规则是：两个多项式中所有指数相同的项的对应系数相加，若和不为零，则构成“和多项式”中的一项；所有指数不相同的项均复抄到“和多项式”中。以单链表作为存储结构，并且“和多项式”中的结点无需 生成，则可看成是将多项式B加到多项式A中，由此的到下列运算规则（设p、q分别指向多项式A、B的一项，比较结点的指数项）：
若p->exp<q->exp，则结点p所指的结点应是“和多项式”中的一项，令指针p后移；
若p->exp>q->exp，则结点q所指的结点应是“和多项式”中的一项，将结点q插入在结点p之前，且令指针q在原来的链表上后移；
若p->exp=q->exp，则将两个结点中的系数相加，当和不为零时修改结点p的系数域，释放q结点；若和为零，则和多项式中无此项，从A中删去p结点，同时释放p和q结点。

void polyadd(Polylist polya;Polylist polyb) /*此函数用于将两个多项式相加，然后将和多项式存放在多项式polya中，并将多项式ployb删除*/ { Polynode *p,*q,*pre,*temp; int sum; p=polya->next;/*令p和qfenbie指向polya和polyb多项式链表中的第一个结点*/ q=polyb->next; pre=polya;/*pre指向和多项式的尾结点*/ while(p!=NULL&&q!=NULL)/*当两个多项式均为扫描结束时*/ { if(p->exp<q->exp) /*如果p指向的多项式项的指数小于q的指数，将p结点加入到和多项式中*/ { pre-next=p;pre=pre->next; p=p->next; } else if(p->exp==q->exp)/*若指数相等，则相应的系数相加*/ { sum=p->coef+q->coef; if(sum!=0) { p->coef=sum; pre->next=p;pre=pre->next; p=p-next;temp=q;q=q->next;free(temp); } else { temp=p->next;free(p);p=temp; /*若系数和为零，则删除结点p与q，并将指针指向下一个结点*/ temp=q->next;free(q);q=temp; } } else { pre->next=q;pre=pre->next;/*将q结点加入到和多项式中*/ q=q->next; } } if(p!=NULL)/*多项式A中还有剩余，则将剩余的结点加入到和多项式中*/ pre->next=p; else/*否则，将B中的结点加入到和多项式中*/ pre->next=q; } [align=center]算法 多项式相加[/align]

假设A多项式有M项，B多项式有N项，则上述算法的时间复杂度为O（M+N）。
图2.20所示为图2.19中两个多项式的和，其中孤立的结点代表被释放的结点。
通过对多项式加法的介绍，我们可以将其推广到实现两个多项式的相乘，因为乘法可以分解为一系列的加法运算。