暑假看微分几何总结1

暑假看微分几何总结1

想要搞与曲面曲线相关的科研，如三维人脸识别，计算几何，几何建模等等，微分几何是一门必须要学的基础性学科。由于视觉是人类获取外部信息的主要通道，一般的物体存在都要有一定的几何形态，所以微分几何还同计算机图形学、理论物理、生物、建筑等诸多学科都有着广泛的联系。综上所述，这个暑假给自己定的主要目标就是好好看看微分几何。

本科的时候学过一遍梅向明写的，前一段时间又翻了两遍，这本《微分几何》在中文教材里面是比较好懂的一本。曲线论主要就是Frenet公式，曲面论主要是从曲面上曲线的弧长公式推出曲面的第一基本形式（等距变换，保角变换，内蕴量的性质），从曲面与切平面间的有向距离推出第二基本形式，而曲率的推导过程是：曲面上曲线的曲率->法曲率->主曲率（利用杜邦指标线）->高斯曲率和平均曲率（及几何意义）。还有高斯曲率是内蕴量，测地曲率测地线，Gauss-Bonnet，极小曲面，常高斯曲率曲面。外微分和整体微分几何我就没看了。

这个暑假主要看的一本是Oprea.J.写的<Differential Geometry and Its Application>，当时决定看这一本，主要是因为他带了Maple的试验代码，对于搞计算机的来看，可能会更形象，更容易接受些。这本书的思路和梅向明的就有点不一样了，曲面论首先定义了形状算子，即曲面的法线沿某一方向的导数。然后利用该变换矩阵的不变量来定义了曲率，特征值就是主曲率，用矩阵的迹定义平均曲率，矩阵的行列式定义高斯曲率。然后讲了高斯曲率平均曲率的一些几何特性，测地线等，主要把几何的不变量性质来同微分方程结合进行研究。

老外写的这本书，还举了不少例子，便于读者加深对理论的理解。对于学工科的看数学，还是对其的应用价值最感兴趣，现在贴几个出来：

1. 由于航海的发展，人们在海上可以利用北极星确定纬度，但是确定经度却比较困难。有一种方法是确定正午时与格林威治的时间差，但这就对钟表的准确性提出了要求。可以利用曲线论的方法研究如何确定钟摆的轨迹，使其摆动周期和振幅无关。



2. 核电站的冷却塔的结构是单叶双曲面，这是因为单叶双曲面是直纹面，可以沿其直母线方向放置梁，梁没有弯曲所以冷却塔所受压力较小，且易于建造。



3. 肺部气泡遵循Laplace-Young方程。肥皂膜是极小曲面，肥皂泡是平均曲率为常数的曲面。

4. 地理坐标，在图形学中参数化的应用。



5. 一个工业上的应用，求一个曲面连接平面传送带和圆柱管道，使得货物沿此曲面滑动最“平滑”，求出的满足条件的可展曲面为：





6. 陈省身讲的一个例子，利用螺旋线的几何性质研究DNA的化学性质（White公式，生物化学的一个基本的公式）

归根结底，我觉得微分几何最主要的思路就是：假定复杂曲线曲面的局部是可以用线性的切线切平面去近似，在其局部邻域建立坐标系，然后利用微积分推出曲面的一些与坐标系选取无关的不变量，进而揭示曲面的本质属性。