八皇后问题

八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

算法一：递归实现n皇后问题

算法分析：
数组a、b、c分别用来标记冲突，a数组代表列冲突，从a[0]~a[7]代表第0列到第7列，如果某列上已经有皇后，则为1，否则为0；
数组b代表主对角线冲突，为b[i-j+7]，即从b[0]~b[14]，如果某条主对角线上已经有皇后，则为1，否则为0；
数组c代表从对角线冲突，为c[i+j]，即从c[0]~c[14]，如果某条从对角线上已经有皇后，则为1，否则为0。

程序如下：
＃i nclude <stdio.h>
static char Queen[8][8];
static int a[8];
static int b[15];
static int c[15];
static int iQueenNum=0; //记录总的棋盘状态数
void qu(int i); //参数i代表行
int main()
{
int iLine,iColumn;
//棋盘初始化，空格为*，放置皇后的地方为@
for(iLine=0;iLine<8;iLine++)
{
a[iLine]=0; //列标记初始化，表示无列冲突
for(iColumn=0;iColumn<8;iColumn++)
Queen[iLine][iColumn]='*';
}
//主、从对角线标记初始化，表示没有冲突
for(iLine=0;iLine<15;iLine++)
b[iLine]=c[iLine]=0;
qu(0);
return 0;
}
void qu(int i)
{
int iColumn;
for(iColumn=0;iColumn<8;iColumn++)
{
if(a[iColumn]==0&&b[i-iColumn+7]==0&&c[i+iColumn]==0) //如果无冲突
{
Queen[i][iColumn]='@'; //放皇后
a[iColumn]=1; //标记，下一次该列上不能放皇后
b[i-iColumn+7]=1; //标记，下一次该主对角线上不能放皇后
c[i+iColumn]=1; //标记，下一次该从对角线上不能放皇后
if(i<7) qu(i+1); //如果行还没有遍历完，进入下一行
else //否则输出
{
//输出棋盘状态
int iLine,iColumn;
printf("第%d种状态为：/n",++iQueenNum);
for(iLine=0;iLine<8;iLine++)
{
for(iColumn=0;iColumn<8;iColumn++)
printf("%c ",Queen[iLine][iColumn]);
printf("/n");
}
printf("/n/n");
}

//如果前次的皇后放置导致后面的放置无论如何都不能满足要求，则回溯，重置
Queen[i][iColumn]='*';
a[iColumn]=0;
b[i-iColumn+7]=0;
c[i+iColumn]=0;
}
}
}
算法二：用栈实现的n皇后问题
＃i nclude<iostream.h>
＃i nclude<fstream.h>
/*===定义栈与操作==------------------*/
struct Stack {
Stack *top;
int row;
int col;
}*Top;

void Push(int row,int col);
void Pop();
/*=====栈的定义完毕==---------------*/
#define MAXQUEEN 8
/*=======三个冲突数组确定是否能放置皇后
**///0表示无冲突，1表示有冲突
static int a[MAXQUEEN];//列冲突
static int b[MAXQUEEN*2-1];//主对角线冲突
static int c[MAXQUEEN*2-1];//副对角线冲突
static int d[MAXQUEEN];
/*======**/

void SetQueen(int row,int col);//放置皇后后在该处设置冲突
void DeSetQueen(int row,int col);
bool NoConflict(int row,int col);//判断该位置放置皇后
//是否与其他皇后冲突

//
char ArrayQueen[MAXQUEEN][MAXQUEEN];
ofstream outQueen;//定义一个输出文件流
void DisplayAndSet();
//
bool Queen();
//
void main()
{

Top = new Stack;
Top->top=NULL;

outQueen.open("queen.txt",ios::out,filebuf::openprot);
for(int x=0;x<MAXQUEEN;x++)
for(int y=0;y<MAXQUEEN;y++)
ArrayQueen[x][y]='*';
cout<<"结果在queen.txt文件中"<<endl;
cout<<MAXQUEEN<<"皇后问题是否有解有解？："<<Queen()<<endl;
outQueen.close();
}
//
bool Queen()
{
int count = 0;//计数器
int col = 0;//最初从0列开始
int precolrow[MAXQUEEN] = {0};//记录每一列上次的行数，全部初始化为0
while( col<MAXQUEEN )
{
int row=precolrow[col];//从该列上一次记录的行数开始循环
while(row<MAXQUEEN)
{
if(NoConflict(row,col))//判断该位置是否发生冲突
{
Push(row,col);//将皇后位置压入栈
SetQueen(row,col);//设置该方位有冲突
if(col==MAXQUEEN-1)//判断是否找到
{
count++;//计数器
outQueen<<"第"<<count<<"种情况:"<<endl;
DisplayAndSet(); //输出状态，还原空白棋盘
DeSetQueen(row,col); //将第八个皇后冲突数组置0
Pop(); //开始寻找下一个状态
precolrow[col]=row+1;col--; //最后一列，row+1行在重新开始寻找
break;//跳出行循环，重新开始列循环
}

precolrow[col]=row;//记录该列的行
break;//跳出，进行下一次列循环

}row++;//如果发生冲突，继续行循环

}

if(row<MAXQUEEN)//继续下一列循环
col++; //如果row等于了MAXQUEEN,也就是说，该列无法放置皇后,
else //需弹出前一列的皇后，
//而且从前一列再开始循环，并从被弹出的皇后那一行的下一行开始行循环
{
Pop();
precolrow[col]=0;
--col;
DeSetQueen(precolrow[col],col);
precolrow[col]++;

}
if(precolrow[0]==MAXQUEEN&&count>0)//控制结束
return true;
if(precolrow[0]==MAXQUEEN)
return false;

}
return true;
}
void SetQueen(int row,int col)
{
a[col]=1;
b[row+col]=1;
c[row-col+MAXQUEEN-1]=1;
d[row]=1;
}
void DeSetQueen(int row,int col)
{
a[col]=0;
b[row+col]=0;
c[row-col+MAXQUEEN-1]=0;
d[row]=0;
}

bool NoConflict(int row,int col)
{
if(a[col]!=1&&b[row+col]!=1&&c[row-col+MAXQUEEN-1]!=1&&d[row]!=1)
return true;
return false;
}
void DisplayAndSet()
{
Stack *temp=Top->top;
for(int x=0;x<MAXQUEEN;x++,temp=temp->top)
ArrayQueen[temp->row][temp->col]='@';
for( x=0;x<MAXQUEEN;x++)
{ for(int y=0;y<MAXQUEEN;y++)
outQueen<<ArrayQueen[x][y]<<' ';
outQueen<<'/n';
}
temp=Top->top;
for(x=0;x<MAXQUEEN;x++,temp=temp->top)
ArrayQueen[temp->row][temp->col]='*';
}

void Push(int row,int col)
{
Stack *s = new Stack;
s->row = row;
s->col = col;
s->top = Top->top;
Top->top = s;

}

void Pop()
{
if(Top->top!=NULL)
{
Stack *temp=Top->top;
Top->top = temp->top;
delete temp;
}
}
输出结果有92种状态