动态规划 dynamic programming　

       动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个重要分支,它是解决多阶段决策问题的一种有效的数量化方法 .1957年贝尔曼发表了《动态规划》一书,标志着运筹学这一重要分支的诞生.

     一般来说，适合动态规划的问题需要有两个特性。

    1 优化子机构(optimal substructre)

    2 重叠子问题( overlapping subproblems)， 这与分治(divide -conquer)正好相反。分治总是产生新的子问题。而dp求解过的子问题结果可以在以后的计算中重复使用。

　3 无后向性

    dp的一个变形是备忘录方法。备忘录方法采取自顶向下的方法，dp采用自底向上的方法。

矩阵链乘（matrix chain order）问题：

给定n个矩阵{A1,A2,…,An}。其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要求计算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An。

设这3个矩阵的维数分别为10×100，100×5和5×50。若按第一种加括号方式((A1A2)A3)来计算，总共需要10×100×5+10×5×50=7500次的数乘。若按第二种加括号方式(A1(A2A3))来计算，则需要的数乘次数为100×5×50+10×100×50=75000。第二种加括号方式的计算量是第一种加括号方式的计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大影响。

对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算Ai…j ,1≤i≤j≤n，所需的最少数乘次数为m[i,j]，原问题的最优值为m[1,n]。

当i=j时，Ai…j=Ai为单一矩阵，无需计算，因此m[i,i]=0，i=1,2,…,n ；

当i<j时，可利用最优子结构性质来计算m[i,j]。事实上，若计算Ai…j的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i≤k<j，则：m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj

算法按照
    m[1,1]
    m[2,2]   m[1,2]
    m[3,3]   m[2,3]   m[1,3]
    ...      ...      ...
    m[n,n]   m[n-1,n] ... ....  ... m[1,n]
的顺序根据公式(2.1)计算m[i,j]。
该算法的计算时间上界为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。由此可见，动态规划算法比穷举搜索法要有效得多。