“这山看着那山高”的一个数学解释
2007-05-30 21:07
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最近在一本书上看到一道很有趣的数学题:
现在有两个盒子,里面分别有一定数量的钱。钱是按照这样的规则放进去的:有另一个人掷硬币,如果在连续掷了n次正面后,第n+1次出现反面,则他在一个盒子里放入3^n块,另一个盒子放入3^(n+1)块。
你现在可以打开一个盒子,看看里面有多少钱。然后你可以选择要这个打开的盒子里的钱,或者要另一个盒子。问题就是,如果你想获得更多的钱,你应不应该去选另一个盒子?
显然,如果你打开的盒子里只有1块,那么你肯定应该要另一个盒子里的3块。那么如果打开的盒子里有3^n块,你该如何抉择。(提示:算下另一个盒子的期望值)。
计算其实很简单, 对另一个盒子,你有1/3的机会拿到3^(n+1)块,有2/3的机会拿到3^(n-1)快,所以期望值是:
(1/3)*3^(n+1)+(2/3)*3^(n-1) = (11/9)*3^n > 3^n,也就是说你应该去拿另一个盒子。可问题是:
既然你总要去拿另一个盒子,你又何必去打开第一个盒子?!也就是原来两个一样的盒子,你打开了其中一个之后,另一个就会变得更“好”?
以上计算无懈可击,它其实部分解释了“这山看着那山高”这种现象,或者说你会感觉有些东西永远是“别人的好”,比如房子,车子,工作,等等等等。其实看了上面的例子,你也知道这种想法是很无谓的。
现在有两个盒子,里面分别有一定数量的钱。钱是按照这样的规则放进去的:有另一个人掷硬币,如果在连续掷了n次正面后,第n+1次出现反面,则他在一个盒子里放入3^n块,另一个盒子放入3^(n+1)块。
你现在可以打开一个盒子,看看里面有多少钱。然后你可以选择要这个打开的盒子里的钱,或者要另一个盒子。问题就是,如果你想获得更多的钱,你应不应该去选另一个盒子?
显然,如果你打开的盒子里只有1块,那么你肯定应该要另一个盒子里的3块。那么如果打开的盒子里有3^n块,你该如何抉择。(提示:算下另一个盒子的期望值)。
计算其实很简单, 对另一个盒子,你有1/3的机会拿到3^(n+1)块,有2/3的机会拿到3^(n-1)快,所以期望值是:
(1/3)*3^(n+1)+(2/3)*3^(n-1) = (11/9)*3^n > 3^n,也就是说你应该去拿另一个盒子。可问题是:
既然你总要去拿另一个盒子,你又何必去打开第一个盒子?!也就是原来两个一样的盒子,你打开了其中一个之后,另一个就会变得更“好”?
以上计算无懈可击,它其实部分解释了“这山看着那山高”这种现象,或者说你会感觉有些东西永远是“别人的好”,比如房子,车子,工作,等等等等。其实看了上面的例子,你也知道这种想法是很无谓的。
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