滑模控制以及系统动力学与控制论(4)

Iq"+mgL*sin(q) = u ---(1)

基于这个状态方程.首先定义追踪误差

e = q-R ---------(2) 其中R是参考信号, q是系统输出.

用误差定义滑动参量S.(如果不是追踪系统,一般是使用系统状态参量矢量来定义S-- S =CX=C0X+C1X'+C2X".......)

S = e'+ke -----(3)

下面用S来定义李亚普懦夫能量函数

V = (1/2)*SQ(S) ---------(4) SQ表示平方运算square

显然V作为能量函数必须大于0.这里定义的V也确实是大于0

依据李亚普懦夫直接法,要让系统稳定,就必须让系统能量收敛.也就是V必须要收敛.

V要收敛就需要满足一个条件,那就是V的一阶导数小于0

即 V' < 0

依 (4). 有

V' = SS' = S(e"+ke') -------依S = e'+ke

显然e" = q" - R"

所以有V' = S(q" - R" +ke') -----(5)

由(1) 可以得到 q" = (1/I)*u - (mgL/I)*sin(q)

代入(5),得到

V' = S( (1/I)*u - (mgL/I)*sin(q) - R" + ke') ---(6)

(6) 式的右边出现了u,这正是我们想要的.因为u是控制信号.是需要我们去产生的.于是我们可以设计一个控制器.产生控制信号u.使得V' < 0

假定这里面,惯性参数 I , 质量m 都是未知的.但是我们知道

0 < I1 < I < I2 且 0 < m1 < m < m2

于是选择 u = - I2*Sign(S)*(abs(R")+k*abs(e')+mgL/I1) ---(7) abs表取绝对值.

Sign 函数表示取符号. 如果 Sign(5) =1, sign(-7.2) = -1...

将(7) 代入(6)

可以得到 V' < -abs(S) < 0

于是我们有 V > 0, 且 V' < 0 可以推出 V收敛 也就是 V -> 0

也就是 (1/2)*SQ(S) -> 0

一旦 V 收敛,S也收敛,也就有 S = 0. 也就是系统进入切换面

S收敛了以后 就有 e'+ke = 0, 这个微分方程的解就是 e = exp(-kt)

因为k是正常数.所以 e 指数收敛.即 e -> 0

而依据 e 的定义, 就有 q - R -> 0 .也就是 q -> R 输出信号收敛于参考信号.追踪目的达到!

滑模的好处在于,控制信号的作用是调整状态,使得S收敛.一旦S收敛了以后,系统误差只和S有关.也就是说外界干扰以及内部噪音之类的东西对误差的收敛没有影响.保证了系统的稳定性的同时,也有很强的抗干扰能力.所以在导弹跟踪等领域的应用是很广的.

关于 如果得到u, 下一次和一般情况一起讨论.

下次讨论一般情况用一般二阶状态方程 x" = f(x,x') + B(x,x')*u 讨论

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