初识分治法，动态规划——中位数,Gray码与零钱问题

通过学习“算法设计与分析”课程，我想对于那些经典的算法，除了在理论上“认识”他们外，最主要是在思想上学会他们，接受他们，这样不知不觉地培养了我们一种严密的思维能力，并且运用所学知识结合具体问题设计适用的算法的能力。而且那些经典算法也有很多复杂的应用领域，但是对于没有涉足这方面的人来说，由“认识”他们再上升到算法思想上的掌握也是很有必要的。

下面介绍的几个应用例子都是相对来说不是很难的，主要是先有一种感性的认识。
有关分治法思想

分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。为了解决一个大的问题，可以： 1) 把它分成两个或多个更小的问题;
2) 分别解决每个小问题;
3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。
小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
中位数问题
问题的提出
对于两个长度均为n的已排序的序列,确定这两个序列的2n个元素的中位数
解决此问题的算法思想
设两个长度为n的数列分别为x[ 0 : n -1]和y[ 0 : n -1],分别找出这两个数列的中位数x[i]和
y[ j ],二者进行比较,根据比较结果可以在每个数列中减少一半的搜索范围,然后再分别取
两个子数列的中位数再比较,再减少搜索范围,继续下去直到找到最后结果
求解过程
查找范围确定：
当n为奇数时，令n=2m +1，则两个数列的中位数分别为x[ m ]和 y[ m ]，则：
x[0:m-1]<x[m]<x[m+1:2m]和
y[0:m-1]<y[m]<y[m+1:2m]
若 x[m]<y[m]
若整体中位数x[k]在x[0:m-1]中，则
x[k]<x[m]<x[m+1:2m]且 x[k]<y[m]<y[m+1:2m]
则x[k]至少小于2m+2即n+1个数，而整体的中位数应该是第n个数，它小于n个数，所以整体中位数不在x的前半部分，同样不会在y的后半部分。
　x[m]至少小于n个数，y[m]至少大于n个数，所以这两个局部中位数都有可能成为整体中位数．　　　　
　所以再次查找范围为x[m:2m]和y[0:m]

当n为偶数时，令n=2m ，则两个数列的中位数分别为x[ m-1 ]和 y[ m-1 ]，则：
x[0:m-2]<x[m-1]<x[m:2m-1]和
y[0:m-2]<y[m-1]<y[m:2m-1]
若 x[m-1]<y[m-1]
若整体中位数x[k]在x[0:m-2]中，则
x[k]<x[m-1]<x[m:2m-1]且 x[k]<y[m-1]<y[m:2m-1]
则x[k]至少小于2m+１即n+1个数，而整体的中位数应该是第n个数，它小于n个数，所以整体中位数不在x的前半部分，同样不会在y的后半部分。
　x[m-1]至少小于n+1个数，所以其不会成为整体中位数，y[m-1]至少大于n-1个数，所以它有可能成为整体中位数
　所以再次查找范围为x[m:2m-1]和y[0:m-2]

举个例子：
x={10, 15, 16, 19, 24}
y={11, 17, 18, 20, 23}
x1={16, 19, 24} y1= {11, 17, 18 }
x2={16,19} y2={17,18}
x2={19} y2={17} ————出口，应单独处理
x={10, 15, 16, 19}
y={11, 17, 18, 20}
x1={16, 19} y1= {11, 17}
x2={16} y2={17}
mid=16
数据输入
由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行中有1个正整数n（n<=200），表示每个数组有n个数。接下来的两行分别是X，Y数组的元素。

输入文件示例	输出文件示例
input.txt	output.txt
3 5 15 18 3 14 21	14

C++实现：


#include <iostream>


#include <fstream>


using namespace std;




int findMedian(int*, int*, int);




int main()




...{


ifstream in("in.txt");


ofstream out("d://out.txt");




int n;


int *x,*y;




in>>n;


x=new int
;


y=new int
;




for(int i=0;i<n;i++)


in>>x[i];


for(i=0;i<n;i++)


in>>y[i];




int median=findMedian(x, y, n);




cout<<median<<endl;




out<<median;




in.close();


out.close();




return 1;


}




int findMedian(int* x, int* y, int n)




...{


if(n==1)


return *x <= *y? *x:*y;





int m=(n-1)/2; //中位数位置


int p=m+1; //中位数小者子数字起始位置




if(n%2!=0) //n为奇数


p--;




if(*(x+m)==*(y+m))


return *(x+m);


else if(*(x+m)(y+<*m))


return findMedian(x+p,y,m+1);


else


return findMedian(x,y+p,m+1);


}
Gray码问题
Gray码是一个长度为2n的序列。序列中无相同的元素，每个 元素长度都为n位的串，相邻元素恰好之有一位不同，对任意的n位如何构造相应的Gray码。
对于n=4的Gray码，如下图所。



上图 第1列从最左边算起
实现这个问题的方法是，递归上半部分，下半部分对称复制上半分部即可
由文件input.txt提供输入数据n。
用C++ 实现：



#include <iostream>


#include <fstream>


#include <stdio.h>


#include <math.h>




using namespace std;




void Graycode( int a, int b, int ** arr)




...{


//递归出口


if(a==1)


return;


//处理当前列


for(int i = 0; i < a/2 ; i++)




...{


arr[i][b-1] = 0;//上半部分赋值为0


arr[a-i-1][b-1]=1; //下半部分赋值为1


}




//处理子问题


Graycode(a/2,b-1,arr);//递归调用子问题，生成列数为b-1的Gray码，填写高半部分




for(int k = a/2; k<a; k++)//将(n-1)位的Gray码逆序后，填入目标码字/的低半部分


for( int j =0; j<b-1; j++)


arr[k][j]=arr[a-k-1][j];







}




int main()




...{




int n;


ifstream in("in.txt");


ofstream out("d://out.txt");


in>>n;


int row=pow(2,n);


int **arr=new int*[row];




for(int m=0;m<row;m++)...{


arr[m]=new int
;


}


Graycode(row,n,arr);


for(int i=0;i<row;i++)




...{


for(int j=0;j<n;j++)


cout<<arr[i][j];


cout<<endl;


}


in.close();


out.close();


return 1;


}

有关动态规划的思想

零钱问题


设有n种不同面值的硬币，各硬币的面值存于数组T[1:n]中。现要用这些面值的硬币来找钱，可以实用的各种面值的硬币个数不限。当只用硬币面值T[1],T[2],…,T[i]时，可找出钱数j的最少硬币个数记为C(i,j)。若只用这些硬币面值，找不出钱数j时，记C(i,j)=∞：



« 数据输入

由文件input.txt提供输入数据。文件的第1行中有1个正整数n（n<=13），表示有n种硬币可选。接下来的一行是每种硬币的面值。由用户输入待找钱数j。

使用C++语言实现


#include <fstream>


#include <iostream>


#include <algorithm>




using namespace std;




int changeCoins(int *T, int n, int v);




int main()




...{


ifstream in("in.txt");


ofstream out("d://out.txt");




int n;


int v;




in>>n;


int *T=new int
;


for(int i=0;i<n;i++)




...{


in>>T[i];


}




in>>v;




int result=changeCoins(T,n,v);





cout<<result<<endl;




out<<result;




in.close();


out.close();




return 1;


}






int changeCoins(int *T, int n, int v)




...{


//先对3个硬币按面值进行排序


sort(T,T+n);


int **c=new int*
;




for(int m=0;m<n;m++)...{


c[m]=new int[v+1];


}


//初始化第一行,只有一个硬币时的情况


for(int i=0;i<=v;i++)


if(i%T[0]==0)


c[0][i]=i/T[0];


else


c[0][i]=INT_MAX;


//从第二行开始


for(int j=1;j<n;j++)


for(int k=0;k<=v;k++)


//新加进来的硬币大于要找的钱，用不到这个硬币，所以还是跟上一行的一样


if(k<T[j])


c[j][k]=c[j-1][k];


else


c[j][k]=c[j-1][k]<c[j][k-T[j]]+1?c[j-1][k]:c[j][k-T[j]]+1;


return c[n-1][v];






delete[] c;


}