苏联哲学百科：什么是推理

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什么是推理？


　　在论证一个命题时依次得到的一系列相互联系的命题，这些命题以及它们的连贯性本身，称推理（有时也叫推论）。在这些命题中，有的在该推论范围内不被论证，如果它们的真实性无需证明即为我们所承认，称为公理，否则就称该推论的前提或假设；而其余的每个命题的真实性都是由前面已陈述的某些命题的真实性推出。（有时被称为推论的往往不是指推理本身，而是推理的最终结果，即—系列相互联系的命题中的最后一个）。
　　人类思维的实践表明，当用某些命题B1,B2,...,Bn的真实性论证某个命题A的真实性时，我们有时可以利用如此具有普遍性的定律，以致不管命题B1,B2,...,Bn和命题A具有怎样的内容，这些定律总是正确的；也就是说，它们的正确性不依赖于命题的内容，而只依赖于通常所谓的逻辑形式，或命题B1,B2,...,Bn，和A的结构。这样的定律就称为逻辑定律，而它们的陈述则称为逻辑规则。如果在论证某个推论中的命题时仅仅利用逻辑定律，那么这个推论就称为形式推论或逻辑推论。

　　 一个形式推论，根据它叙述的详细程度，可以比较简洁，也可以比较详细。简洁的推理仅仅或几乎仅仅是一些彼此相继的逻辑命题；相反，详细的推理在某些命题甚至每个新命题出现时都准确地指出这一命题究竟是从前面哪些命题得出的。由此可见，任何形式推理，不管简单或详细，都包含彼此有逻辑联系的一系列命题，但此外，它还可以包含所谓“分析”。分析就是指出命题序列中的某些命题或每一个命题是该推论中的假设还是公理，如果都不是，则指出它是由前面的哪些命题推出的。

 　　对推论进行分析的一种可能的方法，就是将它的命题排列成为“树”形。例如，某个推论由A1,A2,A3,A4和A5五个命题组成，其中A1,A2,A3是该推论中的假设，A4是由直A1，A2推出的，而A5是由A4和假设A3推出的。这时，我们可以把命题A1,A2,A3,A4和A5以如下方式排列起来，以表明上述分析：

　　与形式推论概念紧密联系的是可推出性概念b只要有一个形式推论，其最后的命题是A，而它的假设是命题G1,..,Gn.那么命题A就称为可从假设G1,G2,..Gn推出的。可推出性概念确定着一种关系，即可推出性关系，其中一方是命题G1,...,Gn 的集合(作为前提)，另一方是单独的命题4(作为结论)。

　　数学中使用的形式推论，与一般的形式推论原则上并没有什么差别，但是由于数学研究的内容的特殊性，形式推论正是在数学中才得到了最大的推广，而且在目前也是数学这门科学最显著的特征之一。
 　　数学不仅把形式推论用作工具，而且也研究与使用这种认识工具有关的问题。这里提出的任务就是要确定并研究各种形式工具的应用范围和特点。形式工具使我们可以纯形式地(即不考虑内容)变换命题，只要前提为真则作为结果给出的也总是真命题。形式推论的理论是由数理逻辑研究的。

 　　数理逻辑使形式推论成为数学研究的对象，从而以如下方式改变了这个概念。首先是使形式推论所使用的逻辑推导概念精确化。这是由于明确地指出了，从已得出的命题推出新命题时所可以应用的推断规则。现在，在分析某个具体推论时，对于每一个既非该推论的公理又非假设的命题，不但应当指出它是从前面的哪些命题推出的，而且应当指出它是根据哪一条推论规则推出的。推论规则可以举例如下：由命题“如果A，则B”和命题“A”可以推出(或导出)命题B，其中A和B可以是任意的命题。一般说，所有推论规则都是这样一种论断：

 　　“从各具有某一种形式的命题A1，…，An，可以推出(或导出)具有某种形式的命题B.”这时，命题A1,...An称为该规则的前提，而B则称为该规则的结论。 这里最重要的是：推论规则只指出前提和结论的形式，即它们的结构，而从不提及它们的内容。由于这个原因，我们要解决某个具体命题口是不是可以根据某项推论规则从某些具体命题A1，…，An推出这个问题，是无法利用这些命题的内容的，就是说，我们不得不把它们作为符号序列，作为一定结构的物质对象来处理，并且只能是这样。因此，我们可以把形式推论看作物质对象的序列，而将这些对象是具有某种内容的命题这一事实置而不论。这一点可以部分地解释，为什么在研究形式推论时，以单词(而单词又是由很多字母拼写的)组成命题是徒劳无益的。我们可以放弃这种做法而采取专门的符号，以一个或几个符号来表示单词甚至整个命题。我们需要用这些符号很好地表达命题的逻辑结构，至于它们能否表达命题的内容则是无关紧要的，因为命题的内容对于形式推论并无用处。例如，命题“如果A，则B”就可以更方便地写成：否定由命题A所肯定的内容的命题可以方便地写成<~A>，等等。

 　　数理逻辑研究形式推论是在所谓形式系统的范围内进行的，‘形式系统的例子我们将在下面予以考察(其他常用的名称是：逻辑斯提系统、逻辑演算、形式演算、逻辑形式体系等)。

 　　数理逻辑研究各种形式演算并利用其中形式化的推论概念和可推出性概念，以便解决其他方法非但不能解决，甚至不能正确提出的问题。当然，这并不意味着非形式化的推论概念和可推出性概念就不可以利用了，但是，要以数学的严密性来证明有关这些概念的定理，唯有将推论看作物质对象才行。用这种方法所取得的结果，其意义完全取决于我们在将推论和可推出性形式化时，能在何种程度上完满而正确地反映推论和可推出性的属性。形成了运用符号和符号序列(即物质对象)进行形式逻辑运算的观点，就可以广泛地提出逻辑过程的算法化问题(参见算法)，并为利用机器实现某些逻辑运算作好准备。实际上，利用机器解决逻辑问题的一般过程是这样的：首先将初步信息(初步信息是作为有含义的命题给出的)编码，即译成一种专门语言，
后输入机器；机器变换这些命题，把它们作为没有内容的物质对象来处理；这一系列变换的结果重新解释为一种专门语言所表达的命题，即解释为有含义的东西，然后解码，而采取我们所熟习的语言形式。这个过程的中间环节恰恰实际体现了数理逻辑把命题看作没有内容的一组符号，而把推论看作符号序列时所借以立足的观点。

 　　现在，我们来考察所谓命题演算的一种可能的结构形式，把它作为形式系统的一个例子。首先我们给出用来组成这个系统的全部表达式的基本符号(或者说给出该系统的字母表)。假定这些符号是：

(1)  p  q  r  s  p1  q1  r1  sl  p2  q2…
等符号的无限系列(这些字母称为命题变元)；

(2) 四个符号： [   ]  →  ~ 
（其中前面两个是左括号和右括号，后面两个分别称为蕴涵号稻否定号）。然后我们指出一些规则，按照这些规则就可以从基本符号依次构造该系统的愈来愈复杂的被称为“公式”的表达式。

　　以下是构造规则：

　　1) 每一个命题变元都是公式。

　　2) 如果A和B都是公式，则[A→B]是公式。

　　3) 如果A是公式，则~A是公式。

        以下三个公式称为我们这个系统的“公理”：

　    a) [s→[p→s]]

　　b) [[s→[p→q]]→[s→p]→[s→q]]

　　c) [[~p→~q]→[q→p]]。

 最后，我们取以下两条规则作为推论规则：

　 (I)如果公式A1是通过以公式C代替某一命题变元(凡是出现于A中的)的方法而由公式A得出的，则由A可推出A'(代换规则)。

　 (II)由[A→B]这一形式的公式和公式A可以推出公式B(肯定式规则)。

　　指出形式系统的字母表、构造规则、推论规则和“公理”，以建立形式系统，这虽然不是唯一可能的方法，却是相当典型的。

　　应该指出，这里所用的“公理”这一术语与通常作为无需证明即承认其真实性的命题的公理概念毫无关系。在这里，它们不过是从形式系统的全部公式中划分出来而在规定“证明”和。定理”这些概念时起着特殊作用的一些公式(见下文)。

 　　在提出某个形式系统时，要使用一部分有内容的口头语言。这部分口头语言相对于被给出的形式系统而言，称为元语言。这种元语言不仅在构造形式系统时要使用，在陈述有关形式系统的论点时也要使用。例如推论规则和构造规则都是元语言的命题，而在它们中间出现的符号，例如[A→B]，就不是形式系统的组成部分，而是元语言的组成部分。元语言可以保持非形式化，象我们在这里所见到的那样，也可以被形式化而转变为某个形式系统(成为第一个系统的元系统)。为此又需要某种有含义的元元语言，如此等等。现在我们就给这个系统的推论概念和可推出性概念下定义：公式序列A1,...,An称为由假设G1,...Gm得出公式A的推论，如果公式A是序列A1,...,An的最后一个公式，并且这一序列的每一公式或者是该系统的公理，或者是假设，G1,...Gm之一，或者是按照该系统的一个推论规则而由序列中某些在前的公式推出的。．一
由空假设集而来的推论称为证明。

　　公式A即使只有一个由假设G1,...Gm而来的推论，就称为、可从G1,...Gm推出的。A可从G1,...Gm推出的这句话常常用G1,...Gm┣ A来表示；符号“┣ ”是有含义的元语言中使用的略语一有证明(即由空假设集而来的推论)的公式A称为形式系统的可证公式或定理(记号为┣ A)。

 　　按照上述定义，由[p→q]、r[[p→q]→r], r三个公式组成的序列就是公式，根据肯定式规则由假设[p→q]和[[p→q]→r]得出的推论。因此[p→q]，[[p→q]→r] ┣ r。

　　 现在我们来考察一个证明的例子：

　　(1) [[s→[p→q]]→[[s→p]→[s→q]]] (公理b)，

　　(2) [[s→[p→s]]→[[s→p]→[s→s]]] (按照代换规则以公式s代换(1)中的命题变元q)，

　　(3) [s→[p→s]] (公理a)，

　　(4) [[s→p]→[s→s]] (按照肯定式规则由(2)和(3)得出)。

　　(5) [[s→[p→s]]→[s→s]] (以公式[p→s]代入(4)中的变元p)，

　　(6) [s→s] (按照肯定式规则由(5)和(4)得出)。

　　 可见，┣ [s→s]，就是说，这一公式在形式系统中是可证的，或者换句话说，它是该系统中的定理。有时把一类更为有限的序列作为形式系统的推论来加以考察，以代替上述诸序列。这通常是由于希望不受任何限制地确立所谓演绎定理(“如果G1,G2,...,Gm, A┣ B，则G1,G2,...Gm┣ A→B”)。这一定理当然不是形式演算的“定理”，而是元语言的有含义的定理，它具有很大的启发意义，因为它使得人们在推理过程中可以利用辅助假设，然后再借助于它从诸假设中排除这些辅助假设(详见下文)。在这种情况下，所求的结果是可以得到的，为此，例如在推论的定义中就要求，如果根据推论规则代换1)的结果是非公理的公式，则不对任何假设中的变元进行这种代换。以下我们就采取这个限制。

 　　若以不同方式改变推论的定义，则形式系统中的可推出性关系也会改变。但是，这不会引起可证性(即根据空假设集的可推出性)概念的改变，也就是说，系统的定理集这时应当保持不变，因为否则我们得到的就是另一个形式系统了。

 　　可推出性关系“┣ ”，我们在元语言中通过所考察的形式系统的推论概念已给它下了定义。这种可推出性关系具有一系列的性质，以下即予以介绍。对这些性质的陈述将用缩写的形式给出，其中X、y表示形式系统中的任意公式；G，H,则表示任意的公式序列(有的也可能是空序列)：

　　(1)*  X┣ X

　　(2)*  ~ ~X┣ X

　　(3)*  如果H总体包含的公式与G总体相同，只是公式排排列次序不同，则：如果G┣ X，则H┣ X

　　(4)*  如果G ┣ X，则GY┣ X

　　(5)*  如果GYY┣ X，则GY┣ X

　　(6)*  如果GY┣ X，则G┣ [Y→X]

　　(7)*  如果G┣ [X→Y]，并且G┣ X，则G┣ Y

　　(8)*  如果GY┣ X，并且GY┣ X，则G┣ ~Y。

 　　(1)* -(8)*是元语言经过缩写的有含义的命题，它们作为数学定理是可证的。其中的(1)*和(2)*肯定在该系统中存在着一定形式的推论，其余各点则为某些推论的存在提出充分的条件。在这些命题当中出现了“可推出”的概念，它是为这一形式系统而引入的，当然，它不同于人类思维的含义逻辑中的“可推出”概念。不过，如果认为[A→B]这种形式的公式是代替通常的假言命题“如果A，则B”的缩写，~A这种形式的公式是通常的否定形式“非A”，并且将(1)*一(8)*各点重新解释为关于普通命题和普通可推出性的论断，则所有八点论断都是很自然的。这正可以说明，在什么意义上可以认为，这里所构造的命题演算结构近似于人类思维逻辑的某个部分。

　　 我们构造的命题演算与含义思维之间的联系还可以另外举例说明。在通常的有含义的议论中，一个常用的方法是在推断中引入某些辅助假设。由这些假设得出的结果将这样或那样地应用在推理中，但是假设本身后来却被排除，因此最终结果并不以这些假设为转移。任何一个“逆证”都可以作为这种议论的例子。逆证的格式是这样的：设要求从假设G1,G2,..Gm推出命题A。我们引八(暂时地)辅助假设非A(它与所要证明的内容相反)，然后我们以这种或那种方式从假设G1,G2,...Gm和非A推出结果非Gn。由于从同一组假设也可以推出Gn，由此我们断定非A这个推测是与假设G1,G2,...Gn相矛盾的：所以，由假设G1,G2,...Gn应推出A。这里重要的是，在叙述最终结果时，可以不必把暂时引入的非A列为假设；结论A只依赖于假设G1,G2,...Gn，而不依赖于非A。

 　　辅助假设法在命题演算中也得到反映，并且前面提到的演绎定理已经为此开辟了道路。例如，逆证在命题演算中是这样的。设要求从假设G1,G2,...Gn推出命题A，即证明，G1,G2,... Gn┣ A。我们在假设中添入暂时性的假设~A，并且证明G1，G2,..Gn,~A┣ Gn。然后根据演绎定理得出结论：G1,...Gn ┣ ~A→Gn，这样就把暂时性假设~A从前提中排除 了。然后可以进行与前述含义论述完全平行的证明，并直接和用矛盾律，但是现在可以用另一种方式更方便地继续下去。在命题演算中有一条公理是[[~p→~q]→[q→p]]；以A代换p，以Gn代换q,则得到┣
[[~A→~Gn] →[Gn→A]]。这时应用可推出性性质(4)*共n次(G为空集)，逐步得到G1,G2,…,Gn ┣ [[~A→Gn]→[Gn→A]]。再根据性质(7)*得出G1 G2, …,Gn┣ A。因为根据(1)*可得 Gn ┣ Gn。因而根据(4)*就得到G1,G2,…,Gn┣ Gn，再应用(7)*，就终于碍到G1,G2,…,Gn┣ A。

　　 为进行命题演算而引入的可推出性概念尽管不同于一般含义思维中的可推出性概念，毕竟也是一个有含义的概念，这就是说：断言某一公式可从某些假设推出，就是断言存在着具有一定属性的物质对象(公式序列)。因此，符号┣一是一个有含义的缩写，而X~X ┣ 〡Y则是一个有含义的命题，它可以解释为“如果取任一公式X以及它的形式否定~X作为假设，则对于任何一个公式Y来说，都存在着由假设X和~X得出公式Y的推论”。不过，也可以采用其他方式来研究可推出性。可以构造另一个形式系统，它使我们能够在形式上得出第一个系统中的可推出性性质。例如，可以采取以下做法。

　　从我们已构造出来的命题演算作为基础而略作变动。首先是在该系统的字母表中补充一个新符号“┣ ”，但不把它列为命题变元。然后在构造规则中补充一条新规则： (4)如果G是任意的公式序列(有的也可能是空序列)，而4是任意的公式，则G┣ A是一个命题。由此可见，在新的形式系统中所考察的是两种形式的表达式——“公式”和“命题”，它们的区别在于：“命题”有一个记号“┣ ”，而“公式”却没有这个记号。有含义的缩写式，例如我们早先为命题演算所证明的论断[p→q]，r[p→q]→r]┣ r，在新的形式系统中变成了简单的符号序列，而有含义的缩写“┣
”，．变成了无含义的符号。作为新系统的公理系统，我们取具有形式(1)”和(2)。的命题的无限集，即可能从(1)*和(2)*得出的全部命题(如果以一切可能的公式代换X和Y的话)。 最后，我们取(3)* -(8)*作为新系统的推论规则，但凡是出现“如果…，则…”的地方，都要预先改为“由…可推出…”。

 　　构造新的形式系统，就可以使原先构造的系统的元语言部分地形式化，这是可能的，前面已经讲过。这就是说，使原来系统的可推出性概念形式化。对于新的形式系统，正如对命题演算一样，也可以为它的推论概念和可推出性概念下定义，而且新的可推出性关系与符号“┣ ”毫无共同之处，因为后者现在是系统中的一个没有含义的符号。在新系统中，例如，以下的命题序列就是证明：

　　(1) [p=>q]┣ [p→q] (公理，根据(1)*)

　　(2) [p→q]，[[p→q]→r]|=[p→q] (根据推理规则(4)*由(1)得到)

　　(3) [[p→q]→r]┣ [[p→q]→r] (公理，根据(1)*)

　　(4) [p→q]→r]，[p→q]┣ [[p→q]→r] (根据规则(4)*由(3)得到)　

　　(5) [p→q]，[[p→q]→r]┣ [[p→q]→r] (根据规则(3)*由(4)得到)

　　(6) [p→q]，[[p→q]→r]┣ r (根据规则(7)*由(2)和(5)得到)
 　　这样就证明了，在新的演算中，命题[p→q]，[[p→q]→ r]┣ r 是一个定理。对于原先的系统也曾证明过类似的式子，但在那里所证明的是一个有含义的论断，而在这里的则是一组无含义的符号。 但是新系统是这样构造的，即凡是在原先的演算中某个公式A可证，则在新系统中命题-A也是可证的，反之亦然：凡是在原先的系统中公式A可从假设G1,...Gn推出，则在新系统中命题G1,...Gn┣ A是可证的，反之亦然。正因为这样，我们可以把新系统的符号“┣ ”看作原先系统中的可推出性关系的形式化，并利用新系统来研究旧系统的可推出性的性质。

参考书目：

S.C. Kleene, Introduction to Metamathematics，1957；

 A.Church, ，Introduction to Mathematical Logic,1957；

R.Montague, L. Henkin,<论形式演绎的定义>载<符号逻辑>杂志,新不伦瑞克1956年21卷2期129一136页。

作者：B．切尔尼亚夫斯基(苏联) , 译者：吴祖增.....