RSA算法简介

RSA算法简介

1 简介

当前最著名、应用最广泛的公钥系统RSA是在1978年，由美国麻省理工学院(MIT)的Rivest、Shamir和Adleman在题为《获得数字签名和公开钥密码系统的方法》的论文中提出的。它是一个基于数论的非对称(公开钥)密码体制，是一种分组密码体制。其名称来自于三个发明者的姓名首字母。 它的安全性是基于大整数素因子分解的困难性，而大整数因子分解问题是数学上的著名难题，至今没有有效的方法予以解决，因此可以确保RSA算法的安全性。RSA系统是公钥系统的最具有典型意义的方法，大多数使用公钥密码进行加密和数字签名的产品和标准使用的都是RSA算法。

RSA算法是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法，因此它为公用网络上信息的加密和鉴别提供了一种基本的方法。它通常是先生成一对RSA 密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册，人们用公钥加密文件发送给个人，个人就可以用私钥解密接受。为提高保密强度，RSA密钥至少为500位长，一般推荐使用1024位。

该算法基于下面的两个事实,这些事实保证了RSA算法的安全有效性：
1) 已有确定一个数是不是质数的快速算法；
2) 尚未找到确定一个合数的质因子的快速算法。

2 工作原理

1) 任意选取两个不同的大质数p和q，计算乘积r=p*q；
2) 任意选取一个大整数e，e与(p-1)*(q-1)互质，整数e用做加密密钥。注意：e的选取是很容易的，例如，所有大于p和q的质数都可用。
3) 确定解密密钥d： d*e modulo （p - 1）*（q - 1） = 1 根据e、p和q可以容易地计算出d。
4) 公开整数r和e，但是不公开d；
5) 将明文P (假设P是一个小于r的整数)加密为密文C，计算方法为：
C = pow(P,e) modulo r
6) 将密文C解密为明文P，计算方法为：
P = pow(C,d) modulo r
然而只根据r和e（不是p和q）要计算出d是不可能的。因此，任何人都可对明文进行加密，但只有授权用户（知道d）才可对密文解密。

3 简单实例

为了说明该算法的工作过程,我们下面给出一个简单例子,显然我们在这只能取很小的数字，但是如上所述，为了保证安全，在实际应用上我们所用的数字要大的多得多。

例：选取p=3, q=5，则r=15，（p-1）*（q-1）=8。选取e=11（大于p和q的质数），通过d * 11 modulo 8 = 1 ，计算出d =3。
假定明文为整数13。则密文C为
C = pow(P,e) modulo r
= pow(13,11) modulo 15
= 1,792,160,394,037 modulo 15
= 7
复原明文P为：
P = pow(C,d) modulo r
= pow(7,3) modulo 15
= 343 modulo 15
= 13