(原创)读《理解矩阵》的一点心得及整理归类
2006-12-25 19:51
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(原创)读《理解矩阵》的一点心得及整理归类
1、空间(space)
初级理解:
由熟悉的三维空间性质谈起。1. 由很多(实际上是无穷多个)位置点组成;2. 这些点之间存在相对的关系;3. 可以在空间中定义长度、角度;4. 这个空间可以容纳运动,这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动(变换),而不是微积分意义上的“连续”性的运动。
三维空间最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础,不算是空间特有的性质,凡是讨论数学问题,都得有一个集合,大多数还得在这个集合上定义一些结构(关系),并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊,其他的空间不需要具备,更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质,也就是说,容纳运动是空间的本质特征。“空间”是容纳运动的一个对象集合,而变换则规定了对应空间的运动。
深入学习:
线形空间其实还是比较初级的,如果在里面定义了范数,就成了赋范线性空间;
赋范线性空间满足完备性,就成了巴那赫空间;
赋范线性空间中定义角度,就有了内积空间;
内积空间再满足完备性,就得到希尔伯特空间。
2、线性空间、线性变换、矩阵
空间是一个对象集合,线性空间也是空间,所以也是一个对象集合。
线性空间中的运动,被称为线性变换。也就是说,你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点,都可以通过一个线性变化来完成。
线性变换如何表示呢?很有意思,在线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动(变换)。
对象发生对应运动的方法=代表那个运动的矩阵*代表那个对象的向量。在线性空间中选定基之后,向量刻画对象,矩阵刻画对象的运动,用矩阵与向量的乘法施加运动。 “运动”的概念不是微积分中的连续性的运动,而是瞬间发生的变化。“运动”这个词用在这里,还是容易产生歧义的,说得更确切些,应该是“跃迁”。但不够数学,也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换,来描述这个事情。
所谓变换,其实就是空间里从一个点(元素/对象)到另一个点(元素/对象)的跃迁。
拓扑变换,就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。
仿射变换,就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。
矩阵的定义:“矩阵是线性空间里的变换的描述。”
线性变换的定义:设有一种变换T,使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y,以及任意实数a和b,有:T(ax + by) = aT(x) + bT(y),那么就称T为线性变换。
理解:变换是从空间的一个点跃迁到另一个点,而线性变换,就是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思,就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点,而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变,只要变换前后都是线性空间中的对象,这个变换就一定是线性变换,也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换,一定是一个线性变换。有的人可能要问,这里为什么要强调非奇异矩阵?所谓非奇异,只对方阵有意义,那么非方阵的情况怎么样?这个说起来就会比较冗长了,最后要把线性变换作为一种映射,并且讨论其映射性质,以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点,如果确实有时间的话,以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换,就是在同一个线性空间之内的线性变换。也就是说,下面所说的矩阵,不作说明的话,就是方阵,而且是非奇异方阵。
基:线性空间里的坐标系。注意:坐标系,不是坐标值。这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来,“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
矩阵:矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中,只要我们选定一组基,那么对于任何一个线性变换,都能够用一个确定的矩阵来加以描述。
理解:这句话的关键,在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象,一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中,一个对象可以有多个引用,每个引用可以叫不同的名字,但都是指的同一个对象。对于一个线性变换,只要你选定一组基,那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基,就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述,但又都不是线性变换本身。
相似矩阵,就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述(之所以会不同,是因为选定了不同的基,也就是选定了不同的坐标系),则一定能找到一个非奇异矩阵P,使得A、B之间满足这样的关系:A = P-1BP。
上式矩阵P,其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。
矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵,而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
矩阵的初等变换可以保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然,同一个线性变换的不同矩阵描述,从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。
深入学习:
矩阵不仅可以作为线性变换的描述,而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵,不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去,而且也能够把线性空间中的一个坐标系(基)表换到另一个坐标系(基)。
”理解矩阵“原文
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