一道网易笔试题（加入最优解法）

最近看完了表、栈、队列、二叉树、二叉搜索树、堆、Huffuman树的数据结构。突然想试试自己的程序水平有没有提高（似乎有点太急于求成^_^）。恰逢自己刚给网易投了一份简历，于是，在百度上搜了一些网易的笔试题。结果，其中这道题，一下把我难住了：

如图：



　
设“1”的坐标为（0，0） “7”的坐标为（－1，－1） 编写一个小程序，使程序做到输入坐标（X,Y）之后显示出相应的数字。

这个图有点像螺旋，它是按顺时针方向（由1->2->3->4->5…），逐渐向外膨胀。显然，如果以1为原点（0，0），以向右为x轴的正方向，以向下为y轴的正方向：



那么用人眼很容易就看出7的坐标为（－1，－1），这正与题目的假设一致。其他，如5的坐标应为（－1，1）。
但是，怎么让计算机知道呢？我的大脑突然不知所措，我在想，如果真出了这道题我挂定了^_^。但是，既然现在我是安然的坐在自己的卧室里，我绝对不会向它投降。
于是，躺在床上，望着天花板，想象着从这个螺旋的原点1出发，一起来看看：
Step1：从1向左走1步到达2。坐标（0，0）－>（1，0），即x加1。
Step2：从2向下走1步到达3，坐标（0，1）－>（1，1），即y加1。
Step3：从3向右走1步到达4，坐标（1，1）－>（0，1），即x减1。
Step4：从4向右走1步到达5，坐标（0，1）－>（－1，1），即x减1。
Step5：从5向上走1步到达6，坐标（－1，1）－>（－1，0），即y减1。
Step6：从6向上走1步到达7，坐标（－1，0）－>（－1，－1），即y减1。
……
当在大脑中想象着这一步一步的异同，一个灵感闪灵了。你是否发现了其中的规律？好吧，让我总结一下它的规律：
1、每向左(left)走一步，x就加1。每向右(right)走一步，x就减1。每向下(down)走一步，y就加1。每向上(up)走一步，y就减1。
这一条规律，只要有点直角坐标的知识，是显而易见的。当我们用程序去模拟这样一步一步地行走的时候，另外一个问题，就浮出水面了：怎样告诉计算机，让它按照一个顺时针的螺旋方式，去遍历每一个结点？比如，当计算机来到结点2的时候，它怎么知道，下一步应该往下走呢？当计算机来到结点5的时候，它怎么知道，下一点应该往上走呢？其实，这里还藏着另一条规律：
我把它叫做状态转换的规律。这个规律包含两个方面：
2.1、从结点1开始，
A、向右走
B、向下走
C、向左走
D、向上走
又回到A。形成一个循环，即：A－>B－>C－>D－>A－>B……。
在每一个方向上，应该走多少步，才改变方向呢？现假设，现在开始改变方向，且已知上一次向右走了rNum步，向下走了dNum步，向左走了lNum步，向上走了uNum步。那么从现在开始，
2.2、沿新方向所走的步数，应该等于上一次相反方向所走的步数加1。例如，现在处于结点3，刚才从2－>3的时候是往下走，现在要改变方向，向左走了。这个时候，由于上一次向右走了1步（即由1－>2）。所以，这次应该向左走1＋1＝2步。

找到以上的两个规律，就可以写程序了。
我们可以用枚举类型，来标识四个方向（right,down,left,up）。
用四个整形变量，来记录上一次各个方向所走的步数（rNum,dNum,lNum,uNum）。
用四个整形变量，来记录在每一个方向累积所走的步数（rSum,dSum,lSum,uSum）。
这样，结点值就由这个公式确定：nodeVal = lSum+dSum+rSum+uSum+1。之所以加1，是因为原点的值为1，而不是0。
而坐标值可以这样确定：因为向右为x轴正方向，故x = rSum-lSum。因为向下为y轴的正方向，故y = dSum-uSum。
以下，是我用C++写的程序：

#include <iostream>
#include <conio.h>
using namespace std;

//输入坐标，返回结点值
int Val(int x, int y)
{
if (x==0 && y==0)
return 1;
//四种行走方向
enum Order{right, down, left, up};
//上一次的行走的方向
//从状态循环思考，显然由1到2的上一步的状态应该是up。
Order oState = up;

//上一次 右、下、左、上移动的次数
//皆初始化为0
int rNum=0, dNum=0, lNum=0, uNum=0;

//左、下、右、上累积移动的次数,
//坐标满足：因为向右为x轴正方向，故x=rSum-lSum;
//因为向下为y轴正方向，故y=dSum-uSum;
//坐标所在结点的数值为：lSum+rSum+uSum+dSum+1;
//皆初始化为0
int lSum=0, dSum=0, rSum=0, uSum=0;

//一个无限循环，一旦找到与x、y相等的坐标，则结束。
while (true)
{
//状态转换
switch (oState)
{
case up: //up->right
{
rNum = 0;
for (int i=0; i<lNum+1; i++)
{
++rNum;
++rSum;
if (x == rSum-lSum && y == dSum-uSum)
return (lSum+rSum+uSum+dSum+1);

}
oState = right;
break;
}
case right: //right->down
{
dNum = 0;
for (int i=0; i<uNum+1; i++)
{
++dNum;
++dSum;
if (x == rSum-lSum && y == dSum-uSum)
return (lSum+rSum+uSum+dSum+1);
}
oState = down;
break;
}
case down: //down->left
{
lNum = 0;
for (int i=0; i<rNum+1; i++)
{
++lNum;
++lSum;
if (x == rSum-lSum && y == dSum-uSum)
return (lSum+rSum+uSum+dSum+1);
}
oState = left;
break;
}
case left: //left->up
{
uNum = 0;
for (int i=0; i<dNum+1; i++)
{
++uNum;
++uSum;
if (x == rSum-lSum && y == dSum-uSum)
return (lSum+rSum+uSum+dSum+1);
}
oState = up;
break;
}
}
}

}

int main(int argc,char * argv[])
{
int x, y;
cout <<"请输入坐标（x y）：";
while (cin>>x>>y)
{
cout <<"坐标所在的结点值为："<< Val(x, y)<<endl;
cout <<"请输入坐标（x y）：";
}
return 0;
}

补充：此题最优秀的解法―――根据alula朋友的精彩回贴整理。能够根据规律挖掘出一个求解公式，就是最快速的方法。下面这个程序，做了充分的注释，只要在草稿上，按照注释，作一个图，就一目了然了：

#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <math.h>
using namespace std;

int newVal(int x, int y)
{
//以结点1为原点
//以相邻两结点间的距离为单位（如结点2与结点3的之间线段）
//结点7所在的正方形（由结点2、3、4、5、6、7、8构成）的边长
//的一半为1，即结点7到原点1的最大投影距离为1。
//于是由结点坐标，可以求出此结点所在的正方形的投影距离：
int r = max(abs(x),abs(y));

//进行坐标变换，即把坐标原点移动到正方形的一个角结点上，
//使整个正方形落在第一象限，例如，当r=1时，将把坐标原点从结点1
//移动到结点7。
x += r;
y += r;

//正方形的边长，等于投影距离的两倍
int d = 2*r;

int s; //s为结点在自己的正方形的偏移量
if (y == 0)
s = 3*d + x;
else if (x == 0)
s = 2*d + (d-y);
else if (y == d)
s = d + (d-x);
else
s = y;

//pow((r+1),2)为内层的结点数。
//例如，结点9的内层由结点1和正方形A（2、3、4、5、7、8）构成
//这些内层的总结点数恰为：(正方形A的边长＋1)的平方，
//因为：正方形A的边长 ＝（结点9所在正方形的半径－1）*2
//故：内层结点数 ＝ （结点9所在正方形的边长－1）的平方
//结点值 ＝ 在当前正方形的偏移量 ＋ 内层的结点数
s += pow((d-1),2);

return s;

}
int main(int argc,char * argv[])
{
int x, y;
cout <<"请输入坐标（x y）：";
while (cin>>x>>y)
{
cout <<"坐标所在的结点值为："<<f(x, y)<<endl;
cout <<"请输入坐标（x y）：";
}
return 0;
}