§8.1 度量空间的完备化
2006-10-25 15:47
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第8章 完备度量空间(简介)
§8.1 度量空间的完备化
定义8.1.1 设(X,ρ)是一个度量空间.X中的一个序列
,如果对于任意给定的实数ε>0,存在整数N>0,使得当i,j>N时,有
,则称序列
是一个Cauchy序列.
如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,ρ)是一个完备的度量空间
易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然.
例8.1.1 实数空间R是一个完备的度量空间.(证略)
有理数集Q作为实数空间R的度量子空间却不是完备度量空间,因为任何一个在R中收敛于无理数的有理数序列在这个子空间中均不收敛.(完备性不可遗传)
完备性也不是一个拓扑不变性质.
例我们在R中引入一个新的度量d,其定义为:
容易验证d确实是R中的一个度量,并且与R的通常度量ρ等价.因此实数集合R在这两个不同的度量之下,恒同映射是一个同胚.(即(R,ρ)与(R,d)是同胚空间).然而(R,ρ)是一个完备度量空间,而(R,d)却不是.因为其中的序列
是一个Cauchy序列,然而却不收敛.
验证如下:
取
,则当i,j>N时.(设i<j),有
所以,
是个Cauchy序列.但对于任意取定的x,取i=x+p,p>x时
是个确定的数.即不论你取定怎样的x,当i比2x大时,x、i的距离总是大于固定的数
,这说明
是不收敛于x的.
定理8.1.1 完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间.(闭遗传)
引理8.1.2 设(X,ρ)是一个度量空间,
.如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则Y的闭包
中的每一个Cauchy序列也都在X中收敛.
推论8.1.3 设(X,ρ)是一个度量空间.Y是X的一个稠密子集.如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则X是一个完备度量空间.
定理8.1.4 n维欧氏空间
和Hilbert空间H都是完备度量空间.
定义8.1.2 设(X,ρ)和(Y,d)是两个度量空间,f: X→Y.如果对于任意x,y∈X有d(f(x),f(y))=ρ(x,y),则称映射f是一个保距映射,如果存在一个从X到Y的满的保距映射,则称度量空间(X,ρ)与度量空间(Y,d)同距.
定义8.1.3 设X是一个度量空间, X*是一个完备度量空间.如果X与X*的一个稠密的度量子空间同距,则称完备度量空间X*是度量空间X的一个完备化.
定理8.1.5 每一个度量空间都有完备化.
定理8.1.6 每一个度量空间的任意两个完备化同距.
§8.1 度量空间的完备化
定义8.1.1 设(X,ρ)是一个度量空间.X中的一个序列
,如果对于任意给定的实数ε>0,存在整数N>0,使得当i,j>N时,有
,则称序列
是一个Cauchy序列.
如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,ρ)是一个完备的度量空间
易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然.
例8.1.1 实数空间R是一个完备的度量空间.(证略)
有理数集Q作为实数空间R的度量子空间却不是完备度量空间,因为任何一个在R中收敛于无理数的有理数序列在这个子空间中均不收敛.(完备性不可遗传)
完备性也不是一个拓扑不变性质.
例我们在R中引入一个新的度量d,其定义为:
容易验证d确实是R中的一个度量,并且与R的通常度量ρ等价.因此实数集合R在这两个不同的度量之下,恒同映射是一个同胚.(即(R,ρ)与(R,d)是同胚空间).然而(R,ρ)是一个完备度量空间,而(R,d)却不是.因为其中的序列
是一个Cauchy序列,然而却不收敛.
验证如下:
取
,则当i,j>N时.(设i<j),有
所以,
是个Cauchy序列.但对于任意取定的x,取i=x+p,p>x时
是个确定的数.即不论你取定怎样的x,当i比2x大时,x、i的距离总是大于固定的数
,这说明
是不收敛于x的.
定理8.1.1 完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间.(闭遗传)
引理8.1.2 设(X,ρ)是一个度量空间,
.如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则Y的闭包
中的每一个Cauchy序列也都在X中收敛.
推论8.1.3 设(X,ρ)是一个度量空间.Y是X的一个稠密子集.如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛,则X是一个完备度量空间.
定理8.1.4 n维欧氏空间
和Hilbert空间H都是完备度量空间.
定义8.1.2 设(X,ρ)和(Y,d)是两个度量空间,f: X→Y.如果对于任意x,y∈X有d(f(x),f(y))=ρ(x,y),则称映射f是一个保距映射,如果存在一个从X到Y的满的保距映射,则称度量空间(X,ρ)与度量空间(Y,d)同距.
定义8.1.3 设X是一个度量空间, X*是一个完备度量空间.如果X与X*的一个稠密的度量子空间同距,则称完备度量空间X*是度量空间X的一个完备化.
定理8.1.5 每一个度量空间都有完备化.
定理8.1.6 每一个度量空间的任意两个完备化同距.
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