2.7 拓扑空间中的序列

§2.7 拓扑空间中的序列
　　本节重点:

　　掌握拓扑空间中序列的概念,及极限点的概念；

　　掌握数学分析中的序列的性质与拓扑空间中的序列的性质有何不同；

　　掌握不可数集中序列的特性；

　　掌握点集的凝聚点与序列的极限点的关系．

　　在读者熟知的数学分析课程中，往往用序列收敛的概念作为出发点来刻画集合的凝聚点，函数在某一点处的连续性等等．在这一节我们便会看到这种做法在一般的拓扑空间中并不可行；而要使得它变为可行的，则要对拓扑空间加以适当的限制．我们将来再研究这种限制加到什么程度为合适．

　　定义2.7.1　设X是一个拓扑空间．每一个映射S:

→X，叫做X中的一个序列．我们常将序列S记作

；或者

．，或者干脆记作

，其中

．有时我们也将记号

简化为{

}，但这时要警惕不要与单点集相混．

　　拓扑空间X中的一个序列实际上就是在X中按先后次序取到的一串点，这些点可能重复．因此一个序列

可以仅由有限个点组成，当这个集合是单点集时，我们称序列

为一个常值序列．

　　定义2.7.2　设

是拓扑空间X中的一个序列，x∈X．如果对于x的每一个邻域U，存在M∈

,使得当i＞M时有xi∈U，则称点x是序列

，的一个极限点（或极限），也称为序列

收敛于x，记作

　　 lim

＝x或

→x(i→∞)

　　如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列．

　　拓扑空间中序列的收敛性质与以前我们在数学分析中熟悉的有很大的差别．例如，容易验证平庸空间中任何一个序列都收敛，并且收敛于这个空间中的任何一个点．这时极限的惟一性当然无法保证了．

　　定义2.7.3　设X是一个拓扑空间，S,

：

→X是X中的两个序列．如果存在一个严格递增的映射N：

→

(即对于任意

，如果

，则有N（

）＜N（

)，使得

＝SoN，则称序列

是序列S的一个子序列．

　　假如我们将此定义中的序列S记作

那么序列

自然可以记作

，也就是说，序列

第i个点恰是序列

第N（i）个点．

　　我们已经看到，我们以前熟悉的序列的性质有许多对于拓扑空间中的序列是不适合的．但总有一些性质还保留着，其中最主要的可见于以下三个定理中．

　　定理2.7.1　设

是拓扑空间X中的一个序列．则

　　（1）如果

是一个常值序列，即对于某一个x∈X，有

=x,i∈

，则lim

=x；
　　（2）如果序列

收敛于x∈X，则序列

的每一个子序列也收敛于x．
　　证明（略）．

　　定理2.7.2　设X是一个拓扑空间，A

X，x∈X．如果有一个序列

在A-{x}中（此意即，对于每一个i∈

有

∈A-{x})，并且收敛于x，则x是集合A的一个凝聚点．

　　证明设序列

在A－{x}中并且收敛于x．如果U是x的一个邻域，则存在M∈

使得



U，因此



U∩(A-{x})，从而U∩(A-{x})≠

．这证明x是A的一个凝聚点．

　　例2.7.1　定理2.7.2的逆命题不成立．

　　设X是一个不可数集，考虑它的拓扑为可数补拓扑，这时X的一个子集是闭集当且仅当或者它是X本身或者它是一个可数集．我们先指出可数补空间X的两个特征：

　　（1）X中的一个序列

收敛于x∈X的充分必要条件是存在M∈

使得当i＞M时，

=x．

　　条件的充分性是显然的．以下证明必要性．设lim

=x由于集合

是一个可数集，因此D的补集

是x的一个邻域，从而存在M∈

使得当i＞M时有

，此时 必有

=x．

　　（2）如果A是X的一个不可数子集，则集合A的导集d（A）＝X．

　　这是因为X中任何一个点的任何一个邻域中都包含着某一个非空开集，而拓扑空间X中的每一个非空开集都是一个可数集的补集，所以任何一个点的任何一个邻域都是某一个可数集的补集．由于A是一个不可数集，它将与任何一个点的任何一个邻域有非空的交，因此X中任何一个点都是集合A的凝聚点，即d（A）＝X．

　　现在我们来指出，在这个拓扑空间X中，定理2.7.2的逆命题不成立．设

∈X．令A＝X－{

}，它是一个不可数集．根据（2），我们有

∈d（A），也就是说，

是A的一个凝聚点；然而根据（1），在A（=X-{

}）中不可能有序列收敛于


　　这个例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画凝聚点．

　　定理2.7.3　设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．则

　　（1）如果f在点

∈X处连续，则X中的一个序列

收敛于

蕴涵着Y中的序列

收敛于f（

)；
　　（2）如果f连续，则X中的一个序列

收敛于x∈X蕴涵着Y中的序列

收敛于f(x)．
　　证明　（1）设f在点

处连续，

是X中的一个收敛于

的序列．如果U是f(

)的一个邻域，则

(U)是

的一个邻域．这时存在M∈

使得当i＞M时有

．

　　（2）成立是因为连续即在每一点处连续（参见定理2．3．5）．

　　例2.7.2　定理2.7.3的逆命题不成立．

　　现在设X是实数集合，并且考虑它的拓扑为可数补拓扑．考虑从拓扑空间X到实数空间R的恒同映射i：X→R．由于如果拓扑空间X中的序列

收敛于x∈X，则有：存在M∈

使得当i＞M时有=x，因此此时序列

在实数空间R中也收敛于x．这就是说映射i满足定理
2.7.3（1）或（2）中的后一个条件．但是这个映射i在X的任何一个点x∈X处都不连续．因为显然任何一个包含x∈R的开区间U（它是x在实数空间中的一个邻域），只要不是R本身，那么

(U)=U在拓扑空间X中不能包含任何一个开集(因为U的补集

不是可数集)，也就不能作为任何一个点的邻域．

　　上述例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画映射的连续性．

　　至于在什么样的条件下，定理2.7.2和定理2.7.3的逆命题成立，也就是说可以用序列收敛的性质来刻画凝聚点和映射的连续性，我们今后还要进行进一步的研究．

　　此外，在度量空间中，序列的收敛可以通过度量来加以描述．

　　定理2.7.4　设（X，ρ）是一个度量空间，

是X中的一个序列，x∈X．则以下条件等价：

　　（1）序列

收敛于x；

　　（2）对于任意给定的实数ε＞0，存在N∈

使得当i＞N时
ρ(

,x)<ε；

　　（3）limρ(

,x)=0(i→∞)．

　　证明(略)

　　本章总结：

　　1．本章的研究对象是一个任意的集合，在其上定义了一个“开集”族结构(为了能够运算，所定义的开集必须满足P．48定义2．2．1)．这个集合就成了“拓扑空间”．(注意它与通常的实数空间不同)

　　2．在拓扑空间中由开集衍生定义出邻域,闭集,闭包,导集,序列等概念．(要掌握这些概念的等价命题)

　　3．为了进一步研究开集的结构,又引进了基与子基的概念．(要掌握基与开集的关系)

　　4．此时拓扑空间的序列有哪些性质?与实数空间的序列有哪些不同?

　　5．两个空间的关系用一个映射来联系,怎样的映射是连续的?有几种方法可以判断映射是连续的?

　　6．为了向实数空间看齐,可以在集合中引进“度量”这个概念．度量空间有哪些性质?

　　按以上这些要点复习一遍．然后记住以下几个常见的空间的性质:

　　实数空间,平庸空间,离散空间,有限补空间,可数补空间；

　　开集,闭集,邻域是怎样的?