一道怪怪的数学题

如图1（其中一种初态），一个4×4的棋盘，上面有1～15共15个数字和一个空格（用◎表示），要求利用空格移动棋子把他们排成图2的形式（目标状态）。
10 1 11 14 1 2 3 4
2 3 ◎ 5 5 6 7 8
8 9 4 15 9 10 11 12
12 13 6 7 13 14 15 ◎
（图1） （图2）

问题：
现有一函数f(x)，x表示格子的编号（编号与图2类似，◎处为16号），f(x)的值表示从第x+1格到第16格中，较x格中的棋子的号码小的棋子个数。例如，图1中，第8格的棋子是5，故f(8)=1，同理f(14)=2。对于空格◎，定义为比任何棋子都大，如图1中f(7)=9。又如，图2中，f(1)=f(2)=...=f(16)=0。
设空格位于棋盘上第i行第j列（如图1，i＝2，j=3）。

求证：
对于一个给定的初态，如果:
16
∑f(x)+i+j
x=1
和是偶数，则该初态可变换成目标状态，否则，其他任何初态都不可能变换成目标状态。

///////////////////////////////////////////////////
结论0：
若某种初态能够变换为图2的排列，则∑f(x)+i+j 是偶数。

证明：
考虑空格◎朝上、下、左、右四个方向移动的时候∑f(x)+i+j的变化量:
左、右：变化量为0；
上：设◎的格号为k,格号为k-1,k-2,k-3的格子中有m个数大于格子k-4中的数，
则此时的变化量等于2*m;
下：设◎的格号为k,格号为k+1,k+2,k+3的格子中有m个数大于格子k+4中的数，
则此时的变化量等于-2*m;
每种情况变化量都是偶数。
由于最终的目标状态的∑f(x)+i+j=8是偶数，所以结论0成立。

结论1：
在下面的2X3表格中i,j可以互换位置，其中◎可在任意一个x处。

i	x	x
j	x	◎

证明：

i	x	x
j	x	◎

==>

i	◎	x
j	x	x

==>

j	i	x
◎	x	x

==>

◎	j	x
x	i	x

==>

x	j	x
i	◎	x

==>

x	◎	j
i	x	x

==>

x	i	j
x	◎	x

==>

◎	i	j
x	x	x

==>

j	◎	x
i	x	x

得证！

由结论1，便可以得到：

结论2：
在2X3的表格中，任意两个数都可以按指定顺序移到边上的两个格中。

证明：
1.若这两个数在表中相邻，则首先利用空格子将它们拉到边上，如果顺序正确，即为所求；若不正确，利用结论1，调换位置。
2.若这两个数在表中不相邻，则首先利用空格子让它们相邻，然后同上。

结论3：
对于4X4的表格，通过适当的移动，肯定能得到下列两种结果状态之一：
(1).

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	◎

(2).

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	15
13	14	12	◎

其中（1）的∑f(x)+i+j =8是偶数；（2）的∑f(x)+i+j =13是奇数。

证明：
依靠结论2，对于任何一个初态排列，我们可以依次将下列数对放到正确位置：
(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,13),(10,14),最后将11移到正确位置，◎移到角上，则必得到如结论中所述的两种状态之一，根据结论0，(2)不可能变换为(1)。由此可知若初态的∑f(x)+i+j是偶数，则它能够且只能变换成为(1);而若初态的∑f(x)+i+j是奇数，则它能够且只能变换成为(2)。

上面给出的移动方法，显然是一种机械步骤，喜欢软件编程的朋友可以一试身手，编好了，别忘了告诉大家。



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