树的左儿子右兄弟表示法

树的左儿子右兄弟表示法又称为二叉树表示法或二叉链表表示法。每个结点除了data域外，还含有两个域，分别指向该结点的最左儿子和右邻兄弟。这种表示法常用二叉链表实现，因此又称为二叉链表表示法。但是实际应用中常用游标(静态链表)来代替链表，请参见表的游标实现。

若用指针实现，其类型定义为：

Type TPosition=^NodeType; NodeType=record Label:LabelType; Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition; end; TreeType=TPosition;

若用游标实现，其类型定义为:

Type TPosition=integer; NodeType=record Label:LabelType; Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition; end; CellspaceType=array [1..MaxNodeCount] of NodeType; TreeType=TPosition; var Cellspace:CellspaceType; Tree:TreeType;

此时树类型TreeType是整数类型，它指示树根在cellspace中的游标。例如图5(a)中树的左儿子右兄弟表示法的指针和游标实现分别如图5(b)和(c)所示。



(a)



(b)



(c)
图5 树的左儿子右兄弟表示法

用树的左儿子右兄弟表示法可以直接实现树的大部分操作，只有在对树结点作Parent操作时需遍历树。如果要反复执行Parent操作，可在结点记录中再开辟一个指向父结点的指针域，也可以利用最右儿子单元中的Right_Sibling作为指向父结点的指针(否则这里总是空指针)。当执行Parent(v)时，可以先通过Right_Sibling逐步找出结点v的最右兄弟，再通过最右兄弟的Right_Sibling(父亲指针)找到父结点。这个结点就是结点v的父亲。在这样的表示法下，求一个结点的父亲所需要的时间正比于该结点右边的兄弟个数。不过，这时每个记录中需要多用一位(bit)空间，用以标明该记录中的right_sibling是指向右邻兄弟还是指向父亲。

考虑到对于现在的计算机，内存已经不是很重要的限制因素了。我们下面就采取增加一个parent域的方案，以改进左儿子右兄弟表示法中Parent操作的效率。因此重新定义树的类型如下：

若用指针实现，其类型定义为：

Type TPosition=^NodeType; NodeType=record Label:LabelType; Parent,Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition; {增加一个Parent域} end; TreeType=TPosition; var Tree:TreeType;

若用游标实现，其类型定义为:

Type TPosition=integer; NodeType=record Label:LabelType; Parent,Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition; {增加一个Parent域} end; CellspaceType=array [1..MaxNodeCount] of NodeType; TreeType=TPosition; var Cellspace:CellspaceType; Tree:TreeType;

下面我们只针对上面的指针实现方案实现树的ADT操作。对于指针实现的树，空结点∧表示空指针nil。对于浮标实现的树，可以类似地实现下面的操作。

指针实现的左儿子右兄弟表示法实现的ADT树操作

函数 Leftmost_Child(v,T) 功能 这是一个求最左儿子结点的函数。函数值为树T中结点v的最左儿子的位置。当v是叶结点时，函数值为nil，表示结点v没有儿子。 实现 Function Leftmost_Child(v:TPosition;var T:TreeType):TPosition; begin return(v^.Leftmost_Child); end; 说明 返回v的最左儿子的位置指针。 复杂性 显然为O(1)。

函数 Right_Sibling(v,T) 功能 这是一个求右邻兄弟的函数，函数值为树T中结点v的右邻兄弟。当v没有右邻兄弟时，函数值为nil。 实现 Function Right_Sibling(v:TPosition;var T:TreeType):TPosition; begin return(v^.Right_Sibling); end; 说明 返回v的右邻兄弟的位置指针。 复杂性 显然为O(1)。

函数 Parent(v,T) 功能 这是一个求父结点的函数，函数值为树T中结点v的父亲在结点表中的位置。当v是根结点时，函数值为nil，表示结点v没有父结点。 实现 Function Parent(v:TPosition;var T:TreeType):TPosition; begin return(v^.Parent); end; 说明 返回v的父结点的位置指针。 复杂性 显然为O(1)。

函数 Create(i,x,T1,T2,..,Ti) 功能 这是一族建树过程。对于每一个非负整数i，该函数生成一个新树T，T的根结点v的标号为x，并令v有i个儿子，这些儿子从左到右分别为树T1,T2,..,Ti的根。当i=0时，v既是树根，又是树叶。 实现 Function Create(i:integer;var x:LabelType;var T1,T2,..,Ti,T:TreeType); begin New(T); {建T的根结点} T^.Label:=x; T^.Parent:=nil; T^.Right_Sibling:=nil; if i>0 then begin T^.Leftmost_Child:=T1; for k:=1 to i do begin Tk^.Parent:=T; if k<i then Tk^.Right_Sibling:=Tk+1 else Tk^.Right_Sibling:=nil; end; end; end; 说明 这个过程首先生成新树的根结点，其中存储的数据为x；然后对于每一个Tk，1≤k≤i，将Tk的根结点的父亲指向T，将Tk的根结点的右兄弟指向Tk+1(对于k=i的Tk其右兄弟为nil)。这里我们假设输入的参数Tk<>nil，1≤k≤i。 复杂性 显然为O(i)。

Label,Root和MakeNull比较简单，这里就不一一实现了。

我们看到，用这种左儿子右兄弟表示法实现树，可以高效地实现树的ADT操作，缺点是占用了用来存储指针的空间。不过我们还是推荐用这种表示法来表示树。