石子问题
2005-02-01 09:07
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有两堆石子,数量任意,可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到你先取,假设双方都采取最好的策略,问最后你是胜者还是败者。
先假设n,2n-1(n>2)布局先取者负。证明在后面。
那么对于任意给出的布局a,b(假设a<b,a>2)。
如果b=2a-1,那么先取者负。
如果b>2a-1,则先取者从b中取出b-2a-1,剩下的构成a,2a-1,先取者胜。
如果b<2a-1,则先取者从两边同时取出2a-1-b,此时构成a-(2a-1-b),b-(2a-1-b),化简变为(b-a+1),2(b-a+1)-1,即n,2n-1布局,先取者胜。
下面证明n,2n-1(n>2)布局先取者负。
当n=3时,为3,5布局,先取者负。
假设a,2a-1(a<n)先取者负。
1,先取者从2n-1中取走k(k>0),布局变为n,2n-1-k
先假设存在一个整数A,当后取者从上面布局两边同时取走A后,能变成布局j,2j-1。
那么即j=n-A(1);2n-1-k-A=2j-1(2),从(1)(2)中可解出A=k。即当后取者从两边同时取A=k时,构成j,2j-1布局,而j<n,故先取者负(如果先取者取走k个后两边相差1,那么就可以构成1,2布局了)
2,先取者从n中取k,则后取者从2n-1中取2k,构成n-k,2n-1-2k=2(n-k)-1,而n-k<n,故先取者负
3,先取者从两边同时取k,构成n-k,2n-1-k,后取者从2n-1-k中再取出k,构成n-k,2n-1-k-k=2(n-k)-1,而n-k<n,故先取者负
综上可得:n,2n-1(n>2)布局先取者负
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