Planar Shadow中Shadow Matrix的推导

[概述]

1 由光源方向V和顶点Q可以确定一条射线K。

2 由法线N和法线上任一已知点P0可以确定平面L。

3 Q在L上的投影实际上就是K同L的交点P。

4 最终需要求的是如何通过矩阵变换将Q变换成P。

[推导]

首先，平面方程的向量形式是：

N · (P - P0) = 0;

N：法线，P0：平面上已知任一点

若设：D = - N · P0， 则平面方程为：

N · P + D = 0; (1)

然后，射线方程是：

P = Q + tV; (2)

Q：射线上任一点，V：射线方向

将(2)式代入(1)式得：

N · Q + (N · V)t + D = 0;

t = - (N · Q + D) / (N · V); (3)

如果将平面方程写成四维形式可以是：L = <N, D>

点向量Q的四维形式：<Q, 1>

方向向量V的四维形式：<V, 0>

则由(3)式得：

t = - (<N, D> · <Q, 1>) / (<N, D> · <V, 0>);

t = - (L · Q) / (L · V);

代入：Q = <Qx, Qy, Qz, 1>, V = <Vx, Vy, Vz, 0>, L = <Nx, Ny, Nz, D>

设E = L · V = NxVx + NyVy + NzVz;

将t代入(2)式，得：

PxE = Qx(NxVx + NyVy + NzVz) - (NxQx + NyQy + NzQz + D) Vx;

PxE = Qx(NyVy + NzVz) - Qy(NyVx) - Qz(NzVx) - DVx;

同理得Py, Pz

最后得到Shadow Matrix

NyVy + NzVz      -NyVx            -NzVx            -DVx

-NxVy            NxVx + NzVz      -NzVy            -DVy

-NxVz            -NyVz            NxVx + NyVy      -DVz

0                0                0                NxVx + NyVy + NzVz

效果如下：



btw:这里有Planar Shadow的详细介绍，作者Hotball还提出了一个利用Stencil Buffer进行改良的方案。

http://www.csie.ntu.edu.tw/~r89004/hive/shadow/page_1.html